分数阶Laplace算子广义Neumann边值问题的谱方法研究

The phrase "anomalous is normal" means anomalous diffusion phenomena are ubiquitous in the natural world. It is well known that the solution of a classical diffusion equation in a bounded domain can be determined if only the solution along the boundary of this domain is given; in contrast, for an anomalous diffusion equation, the boundary condition involves the information of the solution in the complementary set of the discussed domain, with the potential reason that paths of the corresponding Levy fights are discontinuous. Fractional Laplacian, as a class of important anomalous diffusion equations, in one-dimensional as well as high-dimensional cases, has been shown a clear physical meaning. In fact, from the perspective of stochastic process, fractional Laplacian describes a special Levy motion. Based on the continuity equation and the governing equation, generalized Neumann type boundary condition can be specified. Since fractional Laplacian with generalized Neumann type boundary condition is a new derived model, no corresponding numerical results have emerged. This project aims to solve this model problem by using spectral methods. First, we discuss the corresponding steady state problem in one dimension. After defining a new Sobolev space suitable for this problem, we derive two kinds of variational formulae and solve them by using carefully designed spectral methods, respectively. Then, we study the corresponding error estimates and convergence analysis. Finally, the spectral methods used to solve the weak variational formula shall be generalized into high-dimensional case and help to realize the ultimate goal of this project.

反常扩散现象在自然界中广泛存在，可谓“反常即正常”。我们知道，若要确定经典扩散方程在有限区域上的解，只需提供解在边界上的信息即可；然而由于微观上Levy飞行粒子在扩散过程中运动轨迹的不连续性，相应的宏观反常扩散方程的边界条件则须在讨论区域的补集上均有定义。作为一类重要的反常扩散问题，从随机过程的角度看，高维分数阶Laplace方程描述的是一类特殊的Levy运动；而广义Neumann边界条件的数学表示，是基于方程本身和流量连续方程得到的，也有清晰的物理意义。目前，这一最新模型的数值算法还尚未出现。本项目旨在：针对一维情形下稳态的分数阶Laplace算子广义Neumann边值问题，一方面，定义适合模型的Sobolev空间，并在该空间下讨论求解模型问题的两种变分形式的谱方法设计；另一方面，力图分析得出数值格式的误差估计和收敛性结果；最终将一维稳态问题的谱方法进行推广，实现高维演化问题的数值计算。

反常扩散现象在自然界普遍存在，可谓“反常即正常”。反常扩散和非局部问题可以用带有分数阶算子的数学模型来很好地描述。同时，有界区域内的空间分数阶算子,特别是分数阶Laplace算子的边值问题物理意义已有清晰的刻画，与经典整数阶问题有本质差异。目前，分数阶问题目前已有大量的求解算法存在，但相关问题的正则性分析等问题很少被提及。事实上，现有分数阶导数空间可视为经典的Sobolev空间在全空间上的推广，本质上只适用于可光滑零延拓至全空间上的有界区域上的问题情形，即对问题的边界条件有相当限制。因此，建立更加适合分数阶算子的空间，是求解各类复杂问题的基础。项目主持者从分数阶算子的定义出发，讨论所谓分数阶积分空间的概念，研究了经典Sobolev 空间经过Riemann-Liouville 分数阶积分算子作用后的相空间、以及左右两个空间交的性质等。所定义空间中的函数，在边界附近以及区域内部的性质均可得到清晰的刻画）——函数可以分成两部分，一部分在区域内部光滑，在边界处蕴含奇异性；另一部分刻画了区域内部的正则性，以及在边界附近趋于零的渐进行为。所讨论的空间以及其中的函数经过分数次求导后的空间，涉及诸多参数指标（均是可以算出来的）；实际求解特定问题时，我们可以灵活运用这些指标，通过方程右端项函数与参数的关系来决定构造合适的基函数和试验函数，从而使得求解问题的数值方法达到最优数值精度。具体地，针对一维情形下的带有对流项的双边分数阶扩散方程 ，我们逐步设计了三种谱Galerkin方法对其进行数值求解，得到了刚度矩阵的条件数为$O（N^{\alpha}）$的数值格式，其中 $N$ 为逼近中基函数所用到的多项式次数。另外，我们计算了单边以及双边分数阶问题的首次平均逃逸时间，计算结果显示粒子平均首次逃出定义域区间的时间与实际期望相符合。此外，我们还将算法推广到求解带有吸收边界条件的二维各向异性的稳态 Levy对流-扩散方程。