几类基尔霍夫型分数阶Laplace问题研究

This project is mainly concerned with the existence and multiplicity of solutions to several kinds of Kirchhoff-type fractional Laplace problems. In recent years, fractional Schrodinger equations and fractional Kirchhoff problems have become the main topics in the study of fractional Laplace problems and attract more and more attention of mathematical and physical researchers. Because the fractional operators take care of the behavior of the solution in the whole space, many variational techniques developed in the local domains are often invalid. The project aims to investigate the following problems: existence and multiplicity of critical degenerate Schrodinger-Kirchhoff fractional problems; existence and multiplicity of Schrodinger-Kirchhoff type variable-order fractional problems; well-posedness and finite time blow up of global solutions for Kirchhoff-type fractional evolution equations. The novelties of projection are as follows: nonlinearities may be critical; Kirchhoff function may reach critical exponent and vanish at some points; the fractional order may be function; the investigation of dynamical behavior of Kirchhoff-type fractional evolution equation at high energy level. The above difficulties make the study of the existence of solutions involve more refined estimates, and hence new theory、methods and techniques often need to be considered.

本项目主要研究几类基尔霍夫型分数阶Laplace问题解的存在性和多重性。近些年来，分数阶薛定谔方程和分数阶基尔霍夫方程已经成为分数阶Laplace问题研究的主要课题，受到了数学和物理工作者的高度关注。由于分数阶Laplace算子关心的是解在全空间上的性态，以至于很多在局部上发展起来的变分技巧常常失效。本项目旨在研究临界退化薛定谔-基尔霍夫型分数阶问题解的存在性和多解性，薛定谔-基尔霍夫型分数变阶问题解的存在性和多解性，同时也将研究基尔霍夫型分数阶发展方程整体解的适定性和有限时间爆破性等。本项目研究重点在于：非线性项可以取到临界指数；基尔霍夫函数可以取到临界指数以及在某些点为零；分数阶数可以是函数；考察基尔霍夫型分数阶发展方程在超临界能级时解的动力学行为。以上困难使得研究解的存在性时要进行更精细的分析，甚至要考虑新的理论、方法和技巧。

在项目执行期间，我们针对项目提出的三类问题展开研究，主要内容如下：.a. 非退化和退化基尔霍夫型分数阶Laplace方程解的存在性、多重性、正则性等；.b. 非退化和退化基尔霍夫型分数变阶Laplace方程解的存在性和多重性等；.c. 非退化和退化基尔霍夫型分数阶Laplace热方程和波动方程整体解的存在性、渐近性、爆破性等。.我们主要运用变分和拓扑方法研究上述方程解的存在性、多重性和正则性等，主要成果总结起来如下：.1. 填补了分数阶Sobolev空间理论的部分空白（比如分数变阶，奇异分数阶等研究方向的Sobolev嵌入定理等），并在新的变分框架下，研究了若干退化基尔霍夫型分数阶Laplace问题，提出了一些全新的基尔霍夫型假定条件，拓宽了基尔霍夫型方程的适用范围。.2. 根据我们发展的全空间分数阶版本的集中紧致原理，解决了几类具有临界增长的分数阶Laplace问题解的存在性和多重性，从而解决了分数阶椭圆型偏微分方程领域中的一些困难问题。.3. 揭示了分数变阶Sobolev空间与变指数Lebesgue空间之间的内在联系，为此引进了分数变阶Laplace算子，并应用临界点理论研究了具有变指数增长条件的分数变阶Laplace方程解的存在性、多重性以及渐近性。.4. 应用位势井理论研究几类退化基尔霍夫型分数阶发展方程解的局部存在性、全局存在性以及解的渐近性与爆破性等，从而在基尔霍夫背景下，发现了一些不同于经典非线性发展方程的新性质。.5. 在非局部情形下发展了若干变分方法及技巧，在一些新的更弱条件之下研究了几类临界分数阶薛定谔方程基态解和变号解的存在性，不存在性、多重性和集中性等，也研究了Choquard方程、四阶椭圆型方程、临界p-Laplace方程、临界热方程等解的存在性、多重性和爆破等。我们发展的方法可以用来研究更多的非线性问题。