黎曼流形的谱及其相关问题的研究

我们的研究内容分为两个部分，第一部分是围绕经典离散谱即特征值问题进行探讨，我们关注的问题是双调和算子的第一Dirichlet(或者Neumann)特征值的等周不等式性质。在该问题的研究中Talenti和Ashbaugh分别证明了当n=2和3时双调和算子的第一Dirichlet特征值具有等周不等式性质，而一般维数的第一Dirichlet特征值的等周不等式和双调和算子的第一Neumann特征值的等周不等式仍然没有得到解决。我们期望通过本项目的申请和支持，在该问题的研究方面取得实质性的进展。在这当中我们还将尝试运用现代数学的思想方法，如Ricci流的技巧来进行特征值问题的研究。第二部分是围绕与谱相关问题的研究，重点将放在 1.继续采用几何方法对半经典离散几何方程的量子混沌等非线性现象的进行研究，这是与带位势的谱问题相关的问题；2.流形上的函数性质及其相关的双曲性的研究。

调和函数可以看成谱为零的Laplace算子的特征函数，我们在完备单连通的非正曲率的黎曼流形上证明了一个有界调和函数的存在性定理，这一定理能把截面曲率介于两个负常数之间的流形、第一类典型域RI(n,n)(n>1)以及第二类典型域RII(n,n)(n>1)的已知结果作为其特例，从而部分回答了Yau的第二个120问题集中的第47问题（发表于Math. Ann. 见[1]）。在与谱参数相关的研究问题中，我们就流体力学的vortex filament理论中出现的二阶和三阶逼近，利用para-Kahler几何的理论，进行了完整的几何刻画（参见[2-5]）。我们还就具有不可缩伸缩商拟共形映射的进行了研究，提出了具有弱不可缩伸缩商拟共形映射的概念，并且证明了其存在性，使得该类问题的研究取得了一定的进展（参见[6,7]）。要指出的是，我们关于双调和算子Δ2的特征值的等周不等式的研究方面还没有取得预期的进展。