组合曲率流及其在三维几何拓扑中的应用

Thurston observed that the intersection between a three-dimensional hyperbolic polyhedral and the infinity sphere is exactly a circle packing on the sphere. Hence one may use circle packings to construct hyperbolic metrics on three dimensional manifolds and orbifolds. This project aims to study the following three aspects, that is, the “existence”, the “uniqueness” (also called “rigidity”) of the corresponding hyperbolic metrics and “how to construct hyperbolic metrics using combinatorial curvature flows”. The main problems are how to prove the rigidity of circle packings, how to prove the long-term existence and convergence of the solutions to combinatorial curvature flows, and how to construct circle packings and hyperbolic geometry and topology structures on three-dimensional manifolds (or orbifolds) using the combinatorial curvature flow theory. The project also concerns how to use combinatorial curvature flows to computer Graphics and other engineering fields.

Thurston观察到三维双曲多面体与无穷远球面的交恰好形成球面上的circle packing，因此可以用circle packing构造三维流形或orbifold上的双曲度量。本项目旨在研究circle packing构造出的双曲度量的“存在性”、“唯一性”（也称为“刚性”）以及“如何用组合曲率流的方法构造双曲度量”这三类问题。本项目的核心问题是证明相关的刚性定理，证明组合曲率流解的存在性与收敛性，以及应用组合曲率流的理论构造circle packing与三维流形或orbifold上的双曲几何拓扑结构等问题。本项目还关心组合曲率流在计算机图形建模等工程技术领域的应用等问题。

Thurston引入曲面圆堆积理论，并用该理论证明了三维Haken流形的双曲化定理，这是他获得菲尔兹奖的工作之一。Chow-Luo引入曲面上的组合Ricci流，建立了组合Ricci流与圆堆积的联系。本项目研究圆堆积、组合Ricci流与三维双曲多面体、双曲流形的联系。本项目证明了若干圆堆积的刚性和存在性，例如逆距圆堆积、几何有限型曲面、三维球堆积等情形，系统推广了Thurston圆堆积理论，证明相应的组合曲率流收敛到圆堆积和球堆积。本项目的结果在三维几何拓扑领域有很好的应用，比如能证明某些三维流形的双曲化，得到一类三维流形的几何理想剖分。本项目的结果说明组合Ricci流方法提供了研究低维几何拓扑的新方法，在三维流形的几何结构研究中起至关重要的作用。