一些椭圆形方程反问题的Tikhonov正则化方法的收敛速度

This proposal is devoted to the studying of some inverse problems for elliptic equations, including an inverse problem of estimating Robin coefficient from boundary measurements and an inverse problem of recovering the unknown distributed flux boundary using measurement data on the accessible boundary. We aim at verifying some variational source conditions for these inverse problems, and for the first time, derive convergence rates of convergence for Tikhonov regularization under some reasonable Sobolev smoothness assumptions on the true solution. To this end, we will generalize a criterion for the verification of variational source conditions in terms of a family of subspaces. To apply this strategy to the inverse problems, we also investigate the conditional stability estimates of the inverse problems. Our main tools here contain Carleman estimates, some Dirichlet-to-Neumann mappings and variational regularization theory.

本项目主要关注和椭圆形方程相关的一些边界反问题，包括通过测量部分边界的Cauchy数据估计未知的Robin系数和利用可触及边界上的数据来重构不可触及边界上解的流量。我们的主要目标是证明在这些反问题中一些变分源条件(variational source condition)成立。从而在只要求真解满足合理的Sobolev光滑性的条件下，我们可以得到这些问题的Tikhonov正则化方法的显示收敛性。为此，我们将首先推广了一个现有的判定线性反问题中变分源条件是否成立的判定准则，使它可以适用于一般的非线性反问题。为了将这个准则应用于我们考虑的反问题，我们也将研究这些椭圆形方程边界反问题的条件稳定性。我们主要使用的分析工具包括Carleman估计 、D-N映射和变分正则化理论。

本项目中，我们系统性地研究了椭圆型抛物型方程反问题的Tikhonov正则化方法三方面的内容。. 首先，我们利用变分源条件针对具体的偏微分方程反问题在希尔伯特空间的框架下研究对应的Tikhonov正则化方法的收敛性。具体来说，我们首先针对椭圆型和抛物型方程的反Robin问题和热流重构问题，提出了新的稳定条件性和变分源条件，揭示了真解的Sobolev正则化和正则化收敛性的联系。此外，我们利用Tikhonov正则化考察了非线性逆向麦克斯韦方程的初值重构问题。利用算子半群等工具得到一阶最优性条件和对偶问题，并且通过构造恰当的变分源条件分析了Tikhonov正则化收敛性。对于线性和非线性椭圆型以及抛物型方程（Lotka-Volterra模型）中的反系数问题，我们建立起了负Sobolev空间中的条件稳定性，然后以此为导出了变分源条件得到正则化解的收敛性。. 另一方面，本项目系统性的研究了Banach空间上Tikhonov正则化方法的过优化问题，也就是补偿泛函在真解上的值可能为无限。我们基于扇形算子理论研究了正则化解的收敛性，揭示了真解的先验正则性和幂次收敛性的相关性。并且，我们成功把抽象的理论应用到Besov空间、Bessel potential空间上的Tikhonov正则化方法上。. 这个项目我们利用带有Lp补偿项的Tikhonov正则化方法研究不适定问题，主要致力于研究变分源条件。我们利用著名的Littlewood-Paley理论和R有界性(R-boundedness)。利用这两个有力的分析工具，首次基于Triebel -Lizorkin空间上的条件稳定性刻画了变分源条件成立，并且应用到一个椭圆型方程无界系数的重构问题上。