超平面配置的特征多项式

Characteristic polynomials of hyperplane arrangements generalize chromatic polynomials of graphs and become the most important invariant of hyperplane arrangements. As an application of hyperplane arrangements,in 2012,Huh proved the unimodality conjecture on the coefficients of chromatic polynomials which was proposed by Read in 1968. . In this research proposal,our motivation is the other question raised by Read in 1968,which polynomial is a chromatic polynomial of some graph? Similar to Huh's way,we will work on the hyperplane arrangement to study its characteristic polynomial through several different ways, and then apply the results to the chromatic polynomial in Read's question. . To this end,the poposal will cover the following four research topics,. 1. classifying isomorphic intersection semi-lattices of hyperplane arrangements and determining the corresponding characteristic polynomials;. 2. finding combinatorial formula for coefficients of characteristic polynomials and exploring their combinatorial or geometric interpretations;. 3. extending the arithmetic properties from central hyperplane arrangements to affine cases and Erhart quasi-polynomials;. 4. providing the combinatorial interpretation of Tutte polynomials.

超平面配置的特征多项式推广了图的色多项式，也是超平面配置理论中最重要的一个不变量. 2012年,Huh利用超平面配置的理论证明了Read在1968年提出的色多项式系数单峰性猜想. . 我们此次研究计划将围绕Read当年提出的另一个问题，什么样的多项式是图的色多项式? 类似于Huh的处理方式,我们将在超平面配置的理论框架下,从多个角度对其特征多项式进行研究,然后将研究结果应用到图的色多项式来处理Read所提的问题。. 为此，此次计划的研究内容包含以下四个方面，. 1. 超平面配置的交半格的同构分类及其对应的特征多项式; . 2. 超平面配置特征多项式系数的组合关系式及相应的组合或几何解释;. 3. 将线性超平面配置的算术性质推广至一般的超平面配置及Erhart拟多项式上;. 4. Tutte多项式的组合计数解释.

本项目的主要研究内容包括：在离散几何方面，我们第一次引入莫比乌斯共厄地概念，对超平面配置的特征多项式给出了互反律并对经 典的 Tutte多项式的卷积公式给出了一致证明，相关工作发表在组合数学顶级期刊JCTB上。在计数组合方面，对于排321型的置换逆序数的计算， 我们给出了一个具体的组合计数公式， 同时也找到了一个新的从不含321型置换到Dyck路的一个一一对应。我们还对J. Lewis于2012年提出的将一类特殊的置换对应于标准杨表的算法做了推广，并运用其给出了Catalan数新的组合恒等式。 我们还直接证明了Propp 和 Roby给出的关于一类根系偏续集的Homomesy现象。这3篇论文均发表在组合数学核心期刊EJC上。 此外我们还研究了图上Lagrangian函数的Hassian矩阵，结合其在极值组合中的应用得到了一些列刻画，相关结果发表在组合数学代表期刊LAA上。