平面多项式向量场的中心问题与可积性

We mainly study center problem and integrability of planar analytic vector fields...Firstly, we consider center-focus problem of polynomial systems with a non-degenerate singularity in the real plane, and study the relationship between the weaken focus and the associated complex resonant saddle. ..Secondly, we are interesting in illustrating the essential difference between center problem and integrability in the case of degenerate singularities, by looking for more examples which imply these two problems are not equivalent to each other. ..Center problem and integrability are two of the most classical problems of the qualitative theory of ordinary differential equations. They have not only theoretical value but also practical applications in physics and biology and so on.

本项目研究的是平面向量场的中心问题和可积性问题，主要内容包括：1. 实平面上多项式向量场非退化奇点的中心焦点问题，主要研究细焦点和对应的复化鞍点阶数之间的关系；2. 中心问题和可积性问题在退化奇点中的联系和区别。这两个问题此时不再等价。我们通过寻找更多蕴含二者不等价的例子，研究它们之间更本质的关系。通过本项目的研究，我们将对平面向量场中心和可积性问题有更加深刻、更加细致的认识。.本项目所研究的问题都是常微分方程定性理论中的经典问题，它们不仅在理论上非常重要，并且在物理、生物等学科中有很多实际应用。

本项目研究了平面向量场与中心相关的一些问题，主要包括: 平面多项式向量场的细焦点和对应的复鞍点阶数之间的关系； 一类分片Lienard系统的中心在n次扰动下的极限环个数问题, 在这一问题上我们证明了由Llibre 和 Teixerira提出的一个猜测；退化奇点的可积性和几何性质。