退化非高斯噪声驱动的随机动力系统的动力学研究

The theory of random dynamical systems is related to the discipline of ordinary (partial) differential equations, dynamical systems and stochastic analysis. Due to the irreversibility of the Malliavin covariance matrix corresponding to the non-Gauss noise, which is difficult to calculate, there is a few results on the well-posedness and the ergodicity of the stochastic dissipative evolution equations driven by non-Gauss noise. Hence it has important research value with great challenge. It is also important to study the random traveling wave solutions of stochastic models based on the theory of random dynamical system, such as the comparison principle of stochastic parabolic differential equations and the large deviation principle. .. The main task of this project is to study the existence, uniqueness and mixing exponential stability of the invariant measure for some stochastic dissipative equations driven by degenerate non-Gauss noise. By applying the theory of random dynamical systems，we study the existence and asymptotic propagation speed of the random traveling wave for stochastic Fisher-KPP-type model driven by non-Gauss noise. Finally, the well-posedenss and regularity of time-fractional stochastic evolution equations will be explored as well. The effects of the non-Gaussian driving noise, the fractional index and some other factors on the corresponding random dynamic system should be clarified accompanying with some mew research phenomena and new approaches during the whole research process.

随机动力系统涉及常（偏）微分方程、动力系统和随机分析等多分支理论，具有非常重要的理论研究意义和实际应用价值。退化非高斯噪声对应的Malliavin协方差矩阵具有不可逆且计算很困难，导致当前由退化非高斯噪声驱动的随机耗散发展方程的适定性和遍历性研究结论很少，该问题的研究具有重要的研究价值和较大的挑战性。通过建立随机抛物方程的比较原理和大偏差原理等随机动力系统理论来研究随机生物模型的随机行波解是动力系统的前沿课题，具有重要的理论研究价值。本项目主要通过对退化非高斯噪声驱动的几类随机耗散方程不变测度的存在唯一性及指数混合性等基本遍历特性的研究、揭示基于随机动力系统遍历理论的非高斯随机KPP型模型的随机行波解及其波速估计原理，进而研究时间分数阶随机发展方程的适定性和正则性等的基本理论，分析非高斯噪声和时间分数阶的指数等因素对随机动力系统的动力学的影响，探索项目研究中的新现象和新方法。

项目组研究了退化噪声驱动的二维随机Boussinesq方程强解的存在性和依轨道唯一性以及不变测度的存在性；证明了不变测的唯一性和指数混合性以及不变测度的随机稳定性，得到了随机扰动系统的平稳测度的无噪声极限对确定系统是不变的，且不变测度支撑在其Birkhoff中心上。类似的方法运用到二维Ginzburg-Landau-Newell方程、三维三次Ginzburg-Landau方程和三维驯化Navier-Stokes方程上得到相应的结论，主要结果发表在JDE(2022)和Zamp(2020)。. 对于强退化噪声驱动的随机Ginzburg-Landau 方程，由于退化噪声只作用在4个方向上,使得由Martin Harier在Ann. Math(2006)提出的渐近强Feller概念及其需要退化但噪声个数足够多的证明方法不再适用，项目组通过在相空间中构造一个适当的锥，根据随机方程的特征选择恰当的方向进行迭代，让有限个噪声传遍全空间，证明其Malliavin矩阵的谱有正下界，得到其渐近强Feller性，给出了Hormander条件的新刻画，证明了强退化噪声驱动的Ginzburg-Landau方程的遍历性和指数混合性，发表在JDE（2020）。类似的方法运用到随机MHD方程上,得到其遍历性和指数混合性,发表在CPAA(2020)上。. 利用单调随机动力系统方法，通过构造合适的波前标记，在中等噪声假设下证明了乘性高斯噪声驱动的随机种群合作系统随机行波解的存在性及其行波解近似。利用随机Feynman-Kac 公式和上下解技巧给出了随机行波解的渐近波速的上界和下界估计，将已有的单个KPP方程的相关结果推广到方程组情形，发表在DCDS-B（2021)。 建立了Levy噪声驱动非局部快慢随机系统的慢流形、以及非局部随机动力系统的慢流形；得到了Levy噪驱动的Hamilton系统的Hamilton原理和平均原理;得到了对称Levy噪声驱动的分数阶Fokker-Planck方程的数值分析，研究了Levy噪声驱动的随机动力系统数据的转移现象,以及逃逸时间、逃逸概率、李亚普诺夫指数、极大似然估计等。在研究白噪声驱动的带阻尼Ostrovsky， 高阶KdV方程和Benjiamin－Ono方程的适定性和遍历性，发表在JDE(2019), Sci China Math-2020