拟凸域上的几何分析

拟凸域上的几何分析是多复变函数论、复几何和非线性偏微分方程研究的主流问题之一。它体现了学科的交叉性和相互渗透性。关健问题的突破将对多复变函数论、复几何及一些相关学科的发展起到促进和带动作用。本项目研究拟凸域以及华罗庚域上的复几何分析，包括各种全纯不变量、不变距离、不变度量、全纯映照和全纯函数的边界性质、陆启铿猜想、全纯自同构群等。在三年内我们将给出新型华罗庚域的Bergman核、Cauchy核和Poisson核；给出四大经典不变度量（Bergman、Caratheodory、Kobayashi、Einstein-Kahler度量）之间的比较定理；求出其上的Einstein－Kahler度量的显表达式，给出此度量的显表达式是很有意义但也是极其困难的。这些在我国很有基础，已形成一定的优势与特色，是华罗庚的典型域理论的继承与发展。

拟凸域上的几何分析是多复变函数论、复几何和非线性偏微方程等学科的交叉方向和研究热点。本项目针对拟凸域特别是华罗庚域上的复几何分析进行研究，在经典的全纯不变量、不变度量、全纯映照和全纯函数的边界性质、陆启铿问题、Schwarz引理等方面获得了一系列研究成果。.主要研究结果如下：得到广义 Cartan-Hartogs域上完备Kahler-Einstein度量的表达式和该类拟凸域上求解复Monge-Ampere方程显式解的构造性方法；将单复变中的Schwarz引理和Schwarz-Pick引理在单位球Bn上进行了推广；求出了一类Hartogs域上的Bergman核函数的显表达式，并给出核函数零点存在的充要条件；首次提出通过Bergman核函数的零点趋于边界的性质来研究Bergman核函数零点集的拓扑性质，并为该类问题提供了一套有效的研究方法。对于一类Reinhardt域，给出了所有不同类型的边界领域内是否存在Bergman核函数零点的判别法则；在以对称域乘积为底空间的Hartogs域上，证明了Bergman度量、Kahler-Einstein度量、Caratheodary度量、Koyabashi四类典则度量的等价性定理。