增广拉格朗日函数方法及其应用

在这个项目的研究中，我们将在有限维和无限维空间中对约束优化问题建立新的增广 Lagrangian 函数，探讨约束优化问题和它的增广Lagrangian对偶问题之间存在零对偶空隙的充分和必要条件。探讨新的增广Lagrangian函数的性质，在新的增广拉格朗日函数的框架下，利用对偶方法探讨约束优化问题最优全局解和局部解存在的充分条件，必要条件，精确罚函数及增广拉格朗日乘子存在的二阶最优条件，探讨约束优化问题的一些新的算法。我们将应用增广拉格朗日函数或罚函数逼近方法及非光滑分析理论探讨与实际问题密切相关的椭圆型或抛物型变分不等式问题的可解性和多解性, 探讨由变分不等式约束的最优控制问题的最优解。我们将以非线性泛函分析，优化理论，临界点理论和变分方法为工具，寻求一些新的方法和技巧，对所涉及的问题开展深入的研究，以发展和丰富增广Lagrangian函数理论的内容。

本项目主要研究以下几个方面的问题：..一. 为了研究了几类锥约束优化问题，我们构造了新的增广拉格朗日函数，得到了增广拉格朗日乘子存在的几个充分条件，我们得到原问题和它们对应的增广Lagrangian 对偶问题之间存在零对偶空隙的结果。利用共轭对偶以及上方图形的技巧，我们研究了几类DC优化问题。给出了这些优化问题与它们的对偶问题之间存在强对偶和Fenchel-Lagrange对偶的几个约束规格条件。 对二阶锥约束规划问题得到了其鞍点的存在性。 我们得到了约束优化问题的精确罚函数以及增广拉格朗日乘子存在的二阶充分条件... 二. 利用非线性泛函分析方法，临界点理论，非光滑分析和优化等技巧，对椭圆型或抛物型变分不等式和半变分不等式进行研究， 利用子区域逼近等方法，我们得到了一类无界区域上的拟线性的椭圆变分不等式的解的存在性, 并讨论了一类含非局部椭圆算子的半变分不等式的解的存在性及多解性。我们利用拓扑和变分的方法寻求相关联的椭圆边值问题的可解性和多解性及其解的性态，获得了一系列新的结果。..三. 利用罚方法研究半线性的抛物型双障碍问题，原有的罚方法对此问题不适应，为此我们提出了一类新的罚方法， 利用此罚方法构造了一类偏微分罚方程，此罚方程的解可以逼近双障碍问题全局解. 并通过数值实验证明了此方法的可行性。 研究与椭圆型边值问题及特征值问题相关的重排优化问题， 得到了与之相关的重排优化问题的最优解的存在性. 我们研究了非线性等式约束优化问题、非线性不等式约束优化问题和一般约束优化问题的无惩罚型序列线性规划方法， 并通过数值实验证明了这些方法的可行性。