最优控制和重排优化问题的研究

In this project, we will study several optimal control problems governed by variational inequalities and rearrangement optimization problems , which are derived in physics， mechanical and financial management. By using the nonsmooth minimax principle，the nonsmooth critical point theory for locally Lipschitz functions，we will explore the existence of a nontrivial solution or multiple solutions for a class of elliptic type variational inclusion problems and variational inequality problems. We will investigate some rearrangement optimization problems related to a class of boundary value problems involving the p-Laplacian and eigenvalue problems, we will find sufficient conditions to guarantee that the minimum and maximum rearrangement optimization problems are solvable, discuss the properties of these solutions. We will study optimal control problems governed by variational inequality problems or variational inclusion problems via augmented Lagrangian or penalty methods, or non-penaty methods， find the approximate solutions and optimal solutions of the optimal control problems. By performing and analysis numerical experiments, demonstrate the usefulness and feasible of the method.

本项目拟应用非光滑分析和最优化理论研究变分不等式约束的最优控制问题和重排优化等问题, 这些问题起源于物理学、工程学和金融管理科学等。 利用非光滑的极大极小原理，非光滑的临界点理论，我们将探讨几类椭圆型变分包含问题和变分不等式问题的非平凡解以及多解的存在性，将研究与椭圆型边值问题及特征值问题相关的重排优化问题，寻找这些重排优化问题的最优解存在的充分条件，讨论最优解的性质。利用增广拉格朗日方法，罚函数方法或非罚型方法研究椭圆型、抛物型变分不等式约束的最优控制问题，并寻求这些最优控制问题逼近解以及最优解。通过数值试验并加以分析, 验证方法的有效性和可行性。

本项目应用非线性泛函分析，非光滑分析和最优化理论, 研究了由方程或变分不等式约束的最优控制问题和重排优化等问题。我们进行了下面几方面的研究：.. 1. 为了研究最优控制问题和重排优化问题，需要研究与之相关的椭圆型或抛物型方程或变分不等式并得到其解集非空。因此我们利用临界点理论，变分和非变分方法，研究几类椭圆型变分包含问题或方程的平凡解以及多解的存在性，研究含分数阶 p-Laplacian 算子方程最小能量变号解的存在性，由于分数阶 p-Laplacian 算子的非局部特性， 我们需要寻找新的方法来求解这类方程. 通过构造一个约束流形, 并用拓扑度证明方程对应的能量泛函在此约束流形上存在最小值点，最后通过形变引理得出该最小值点即为方程的最小能量变号解. . . 2. 利用非光滑分析，非光滑的临界点理论，研究变分包含问题和半变分不等式问题非平凡解的存在性。在一定条件下，我们得到无穷多解的存在性。.. 3. 研究多目标最优问题弱近似-有效解的近似最优条件的存在性，寻找向量多项式优化问题的Pareto解的存在性，并在锥约束规格条件下，通过研究其相关的极大极小最优问题给出了原问题的近似最优条件... 4. 对几类含非局部算子或 p-Laplacian 型算子的重排优化问题进行了研究，利用第一特征值性质，证明含分数阶Laplace算子的扰动方程存在唯一解，然后以该分数阶Laplace算子方程相关的能量泛函为目标函数研究一个重排优化问题，最后在一定的条件下得到此极小重排优化问题的可解性。.. 5. 利用罚函数方法和无网格 Galerkin 逼近方法，研究椭圆型、抛物型方程或变分不等式和非线性相补问题解的存在性，并由此研究由椭圆型、抛物型方程或变分不等式约束的最优控制问题，并寻求这些最优控制问题逼近解以及最优解。研究了 解序列的 收敛性，通过数值试验并加以分析，验证其方法的有效性和可行性。