谱插值与谱展开的快速算法与分析

Spectral interpolation and spectral expansion are two widely used approximation methods, their fast implementation and error analysis are research hot points in the field of spectral methods. In this project, we will focus on two research topics: First, for the spectral interpolation, we will study fast and stable algorithms for the barycentric interpolation and barycentric rational interpolation formulas in Jacobi-type points. Second, for the spectral expansion, we will study fast computation of Gegenbauer coefficients and analyze the convergence of diagonal Gegenbauer expansion. For the former, based on the uniform asymptotic expansion of Jacobi polynomials, we will propose some new and fast algorithms and these new algorithms will improve the computational efficiency of barycentric interpolation and barycentric rational interpolation formulas. For the latter, based on the contour integral expression of Gegenbauer coefficients, we will design a new and fast algorithm and analyze the open problem of the generalized Runge phenomenon which was pointed out by John Boyd for the diagonal Gegenbauer method.

谱插值与谱展开是谱方法中广泛使用的两种逼近方法，它们的快速实现以及分析是当前谱方法研究领域的热点问题。本项目将主要研究两个课题:(1)对于谱插值，将研究Jacobi型插值节点的重心谱插值公式以及重心有理谱插值公式的快速稳定算法;(2)对于谱展开，将主要研究Gegenbauer谱展开系数的快速计算以及对角Gegenbauer谱展开的收敛性分析。对于前者，基于Jacobi多项式的一致渐近展开式，将发展一种的新型快速稳定算法，提升重心谱插值以及重心有理谱插值方法的计算效率。对于后者，将基于最新得到的路径积分式设计新的快速算法以及分析John Boyd所提出的对角Gegenbauer逼近具有的广义Runge现象的分析难题。

谱方法是微分方程数值解领域广泛使用的一种数值方法，它的主要优势在于对于光滑函数具有快速的收敛速率。谱展开和谱插值是谱方法的两种主要实现形式，它们的快速算法和误差分析是谱方法研究的基础性课题，它们的研究对于函数逼近、数值积分、微分和积分方程数值解等相关领域具有重要的理论意义。..本项目主要研究了谱展开和谱插值的部分研究问题，包括：Gauss-Jacobi积分公式的快速算法、Jacobi多项式在复平面上的极值和渐进估计并应用在Jacobi谱插值的误差估计、Legendre逼近的最优收敛速率、张量Gegenbauer逼近的误差分析、奇异函数Chebyshev系数的最优衰减速率和应用、分数次Sturm-Liouvuille方程特征函数的谱逼近和高振荡Hankel变换的渐进分析和高效计算。取得的重要结果有：（1）提炼出Gauss-Jacobi积分公式节点和权的渐进展开公式；（2）比较了Legendre、Chebyshev投影逼近与最佳一致逼近的收敛速率，得到了Legendre投影对于解析和有限正则函数的最优收敛速率并解释了对于有限正则函数（包括分段解析函数、分数次光滑函数）的收敛速率是完全一样的；（3）给出了Jacobi多项式在椭圆上的渐进展开式，并应用在Jacobi谱插值的误差估计；（4）分析并给出了多变量解析函数Gegenbauer逼近在球指标集下的最大范数意义下的误差估计；（5）建立了高振荡Hankel积分变换渐进分析的统一框架，包括各种具有关键点（零点、驻点、共振点）的情况，并提出了一种基于构造的扩展Chebyshev空间的插值型逼近方法。..本项目的研究结果在Gauss型积分公式的快速计算、谱逼近的收敛速率分析方面取得的研究进展对于谱方法的快速算法和误差估计提供了新的研究基础。