Partial Spread Bent函数与Bent-Negabent函数的构造及密码学性质研究

Bent functions achieve the maximum possible nonlinearities and have the best resistance to linear attack and affine linear approximation attack. Since they were introduced, bent functions have attracted a lot of attention in various areas of mathematics and information science. There are some generalized bent criteria for Boolean functions, such as negabent. Partial spread bent function class is one of the most classic bent classes, but functions belonging to this class that can be explicitly represented are only the PSap functions and the partial spread bent functions based on some pre-quasifield and pre-semifield. Moreover, their cryptographic properties are also not clear. In the project, we study the partial spread bent functions and bent-negabent functions: (1) construct new PS bent functions from finite geometry, give their explicitly representation, analyze their cryptographic properties, and try to find new hyperbent functions. (2) analyze the cryptographic properties of the known bent-ngabent functions and construct bent-negabent functions over finite fields. The results of this project will play an important role in the research of bent functions.

Bent函数具有最高的非线性度，能最好的抵抗线性攻击和仿射逼近攻击，从而使得Bent函数在数学和信息安全学方面都占据着非常重要的地位。有关Bent函数的研究一直是密码学的热点问题，并有学者对Bent函数的概念进行了推广。Partial Spread Bent函数类(简记为PS)是最经典的Bent函数类之一，但是已知的能给出具体表达式的PS Bent函数却很少，而且它们的有些密码学性质也并不清楚。本项目主要对PS Bent函数和Bent-Negabent函数进行研究：（1）分析如何从有限几何的角度来构造得到新的PS Bent函数，分析它们的密码学性质，试图找到新的Hyperbent函数；（2）分析已知构造得到的Bent-Ngebent函数的密码学性质，研究如何从有限域上构造密码学性质好的Bent-Negabent函数。这些问题的解决对Bent函数的研究有一定的促进作用。

密码函数是多种密码系统的重要组成部分，为了使设计的密码系统能够抵抗各种已知的攻击，人们对所使用的密码函数提出了各种要求，如高代数次数、高非线性度、高代数免疫度、低差分均匀度等。因此构造具有优良密码学性质的密码函数及其相关内容在理论和实际应用上都具有重要意义。本项目主要对Bent函数、对称布尔函数、零差分平衡函数以及序列进行了研究。.Bent函数是具有最高的非线性度，能最好的抵抗线性攻击和仿射逼近攻击，从而使得Bent函数在数学和信息安全学方面都占据着非常重要的地位。有关Bent函数的研究一直是密码学的热点问题，PS Bent函数是最经典的Bent函数类之一，但是已知的能给出具体表达式的PS Bent函数却很少。PS Bent函数中函数表达式比较清楚的是PSap函数，该函数是基于Regular Spread定义的，并有学者对其密码学性质进行了研究。通过分析与Regular Spread相近的两种Spread：Andre Spread和Albert Spread，我们给出了由这两种Spread定义的PS Bent函数的函数表达式、对偶函数的表达式以及自对偶的充要条件。.对称布尔函数硬件实现比较简单，所占的存储空间也较小，并且它是已知的唯一的使用门数与输入变量成线性关系的函数，但是奇变元的对称布尔函数中代数免疫度最优的有且仅有两类：Majority函数及其补函数。通过利用权重支集这个工具，我们考虑了奇变元对称布尔函数代数免疫度次优的必要条件及代数免疫度次优的对称布尔函数类。.零差分平衡函数在设计最优常重复合码和最优跳频序列，以及最优和完备差分系统中都有着重要应用。通过差分平衡函数和完备三元序列，我们给出了两类新的零差分平衡函数。通过使用d型差分平衡函数，我们构造了一类新的常重复合码，它们达到了广义Johnson界。.二元序列在雷达、通信和密码学中起着重要的作用。寻找具有最佳自相关值的新的二元序列已经成为序列设计中有趣的研究课题。通过交织的方法，我们得到了新的具有最佳自相关的周期为4p的二元序列和新的四元序列。.本项目共发表论文4篇，全部被SCI收录，其中包括《Designs Codes and Cryptography》1篇，《SCIENCE CHINA Information Sciences》1篇。