完备格上重叠函数与分组函数的构造及性质

Overlap and grouping functions, as two new cases of not necessarily associative fuzzy logic connectives, have been paid much attention by researchers at home and abroad in recent years for their widely applications in image processing, classification problems, decision making based on fuzzy preference relations and fuzzy community detection problems. This project aims at a systematic discussion of the constructions, properties and related implications of overlap and grouping functions on complete lattices. More precisely, this project contains the following contents. (1) We introduce the concepts of overlap and grouping functions on complete lattices. (2) We search for the construction methods of overlap and grouping function on complete lattices. (3) We study some important properties of overlap and grouping functions on complete lattices, such as the ordinal sum, Archimedean property, idempotency property and so on. (4) We introduce the concepts of residual implications derived from overlap functions on complete lattices, (G,N)-implications derived from grouping functions and fuzzy negations on complete lattices and QL-operations derived from overlap functions, grouping functions and fuzzy negations on complete lattices, and discuss under which conditions they can satisfy some certain properties.

由于在图像处理、分类问题、基于模糊偏好关系的决策问题以及模糊群体检测问题中的广泛应用，重叠函数与分组函数作为两类新的非必须结合的模糊逻辑连接词近年来受到国内外研究人员的重视。本项目旨在对完备格上重叠函数与分组函数的构造、主要性质以及与它们相关的三类蕴涵进行一个较为系统的研究。具体内容包括：(1)引入完备格上重叠函数与分组函数的定义；(2)寻找完备格上重叠函数与分组函数的构造方法；(3)研究完备格上重叠函数与分组函数的一些重要性质，比如，它们的序和、阿基米德性以及幂等性等；(4)引入由完备格上重叠函数导出的剩余蕴涵、由完备格上分组函数和模糊否定导出的(G,N)-蕴涵以及由完备格上重叠函数、分组函数和模糊否定导出的QL-运算的概念并讨论它们满足某些特定性质的条件。

本项目在重叠函数与分组函数理论研究还不完善，尤其是除单位闭区间外其他真值集上理论研究欠缺的背景下，对完备格上重叠函数与分组函数的构造、主要性质以及与它们相关的蕴涵展开了研究。主要研究结果包括：(1) 在引入完备格上重叠函数与分组函数的概念之后，研究了它们的幂等性、(α,B,C)-迁移性、(B,C)-齐次性以及消去律等基本性质并给出了借助0_L,1_L-聚合函数和 (∧,∨)-组合构造它们的方法，其中 B,C 是完备格上的两个二元算子； (2) 在引入基于完备格上重叠函数弱形式的C_L-重叠函数导出剩余蕴涵的概念之后，研究了这类蕴涵的系列代数性质并给出了完备格上特定蕴涵与C_L-重叠函数之间的对应关系；(3) 在引入基于有界格上拟分组函数和模糊否定导出的I_{G,N}-蕴涵的概念之后，研究了I_{G,N}-蕴涵的系列代数性质；(4) 将完备格上重叠函数的概念延伸为有界偏序集上所谓的拟重叠函数并基于有界偏序集上所谓的 Galois s-联络、⋄-算子和几类同态分别给出了有界偏序集上拟重叠函数及其三类广义形式的不同构造方法；(5) 在引入有限链这类完备格上重叠函数与拟重叠函数的概念之后，研究了它们的幂等性、阿基米德性以及消去律等基本性质，给出了借助序和对它们的构造方法以及有限链上 D-重叠函数的借助矩阵和序和的构造、刻画与表示方法；(6) 基于任给有界偏序集上拟重叠函数及其三类广义形式，分别给出了以该有界偏序集为真值集的模糊集构成的函数空间和从任意并半格到该有界偏序集上保序函数构成的函数空间上拟重叠函数及其三类广义形式的构造方法并分别给出了函数空间上可表拟重叠函数及其三类广义形式的等价刻画。与此同时，立足本项目，还研究了与重叠函数和分组函数以及完备格相关的其他问题，比如，研究了基于集合的扩展拟重叠函数的刻画， \vec{r}-(拟-)重叠函数的构造，重叠函数相关的交叉迁移性，基于重叠函数及其导出剩余蕴涵的一类模糊粗糙集模型，三支决策空间中基于重叠函数与分组函数决策评价函数的构造，L-Čech 闭包空间范畴的反射和余反射子范畴以及完备剩余格上的广义L-模糊聚合函数等。