数论中的若干问题

一类丢番图方程式的可解性研究。首先，我们把问题转化为对二次型的研究，进而把二次型和虚二次域的理想类群联系起来，通过不同的类数进行分类，从而在黎曼假设下彻底地解决了这个问题。这一结果的重要意义在于，通过代数数论的方法，把黎曼猜想和丢番图方程联系起来，并取得意想不到的结果：与欧拉商有关的同余式。我们将在费尔马大定理证明中起决定性作用的一个高次同余式作了改进，使之原先只对素数成立的公式对任意正整数都成立。这个新的公式可以用来改进一系列著名的定理和同余式，并且可能用纯粹数论的方法把费尔马定理推进一步。最后，我们把数论技术巧和计算机巧妙地结合起来。证明了存在无穷多对相邻的尼文数，并确立了泛生数个数的上界。