拟阵Kazhdan-Lusztig多项式的计算和单峰型性质研究

The unimodal property plays a key role in many mathematics branches, especially in combinatorics, which mainly includes the unimodality, log-concavity, and real-rootedness of polynomials. In recent years, there are some big breakthroughs on unimodal conjectures related to the matroids, but the results of log-concavity and real-rootedness associated with matroid Kazhdan-Lusztig polynomials are very few at present. Therefore, the unimodal property of such polynomials still needs further study. This project intends to study the computation and unimodal property of the matroid Kazhdan-Lusztig polynomials with the aid of symbolic computation, combinatorial bijection, the theory of symmetric function, and complex analysis. The implementation of this project will further enrich the research content of unimodal theory and strengthen the relationship between combinatorics and other branches of mathematics.

单峰型问题在多个数学分支，尤其是组合数学中有着十分重要的研究价值。它的研究主要涉及多项式的单峰性、对数凹性及实零点性等方面。近几年，与拟阵有关的一些单峰型猜想取得了重大突破，但是与拟阵Kazhdan-Lusztig多项式有关的对数凹性和实零点性的结果却十分有限。因此，对于这类多项式的单峰型问题仍需进一步深入研究。本项目拟运用符号计算方法、对称函数理论和复分析理论研究拟阵Kazhdan-Lusztig多项式的计算、对数凹性和实零点性。本项目的实施有助于进一步丰富单峰型理论的研究内容，加强组合学与其他学科之间的联系。

拟阵Kazhdan-Lusztig多项式是偏序集上Kazhdan-Lusztig-Stanley多项式的特殊情况，这类多项式与代数学、几何学、表示论都有深刻的联系，有很多与之相关的深刻猜想。本项目主要围绕拟阵Kazhdan-Lusztig多项式的计算、对数凹性猜想和实零点性猜想展开研究，取得了一系列研究成果，主要包括以下几个方面:（1）定义了拟阵的逆Kazhdan-Lusztig多项式，并用来计算均匀拟阵的Kazhdan-Lusztig多项式。此外，我们猜测这类新多项式的系数是非负的和对数凹的，其中非负性猜想已被2022年菲尔兹奖获得者J. Huh等人利用奇异霍奇理论解决；（2）计算了几类图拟阵的Kazhdan-Lusztig多项式，并证明了它们的对数凹性和实零点性；（3）研究了均匀拟阵的等变Kazhdan-Lusztig多项式，证明了它们的系数分别是单个斜分拆对应的对称群表示；（4）证明了所有均匀拟阵的Kazhdan-Lusztig多项式的对数凹性。