组合序列和图多项式的单峰型问题研究

The unimodality problem is one of the primary topics in Combinatorics, whose research concludes the properties of unimodality, log-concavity, log-convexity and Polya frequency of sequences. Unimodality properties not only has some importances in theories of many branchs of Mathematics, but also has extensive applications in Computer Science, Biology, Economics and so on. Although large numbers of results for the unimodality problems have been obtained by all kinds of abstruse tools and refined techniques, the methods and results for log-convexity of combinatorial sequences is very few. In addition, many unimodality problems arising in the graph polynomials are still open. . To further research the unimodality problem, according with the bypast research experience, this item will recur to the Real Analytics, Complex Analytic theory, Symmetric Function theory, Total Positivity theory, Polynomial theory and Matrix theory, and use for reference the results and skills in Combinatorics in order to study the log-convexity of combinatorial sequences and unimodality problems for graph polynomials and to find some results for graph polynomials with only real zeros. Try to give some results for log-convexity and to solve (partially) some unimodality problems for graph polynomials.

单峰型问题是组合数学中最基本的问题之一，它的研究包含序列的单峰性、对数凹性、对数凸性及PF性质等。单峰型性质不但在数学诸多分支有着重要的理论价值，而且在计算机科学、生物学和经济学等学科中也有着应用背景。虽然已经发展了多种艰深的工具和精细的技巧来研究单峰型问题,并且取得了丰富的研究成果，但是关于组合序列的对数凸性的研究方法和结果还比较少，另外在图论中许多关于图多项式的单峰型问题仍未解决。.为了进一步研究单峰型问题，根据前期的研究经验，本项目拟借助实解析理论、复分析理论、对称函数理论、TP理论、多项式理论和矩阵理论等，并借鉴组合数学里丰富的技巧和结果，来研究组合序列的对数凸性及一些图多项式的单峰型问题，探索一些仅有实零点的图多项式结果。争取给出对数凸性的一些判断方法，解决或部分解决图多项式中的一些单峰型问题。

单峰型问题是组合数学中最基本的问题之一，它的研究包含序列的单峰性、对数凹性、对数凸性及PF性质和它们的q模拟等。其经常出现于组合、分析、代数、几何、概率、统计等数学分支。. 在该项目中，课题组对组合序列及图的独立多项式的单峰型问题做了系统研究，而且取得了重要的进展。我们基于组合三角给出了对数凹凸性、强q对数凸性、及PF性等的一些新标准，不但能够统一地处理一些组合序列的对数凹凸性、强q-对数凸性及PF性，而且还可以给出一些困难的猜想和结果的简单证明。我们证明了一些线性变换保持对数凸性及强q对数凸性。我们应用对数凹凸性解决了孙智伟教授的一系列单调性猜想。我们发展了算子方法来研究图的多项式的单峰型问题。特别地，提出了团覆盖积的概念，给出了团覆盖积的独立多项式的单峰性、对数凹性、实零点、对称性等的判断标准。这些标准不但可以给出了关于独立多项式单峰性、对数凹性、对称性、实零点性等性质的一些已知结果的推广及简单证明，而且还可以解决独立多项式的一些公开猜想及问题。.我们的研究成果丰富了组合数学中单峰型问题的研究内容，及促进了其进一步发展。