几类部分对称张量的谱理论及其应用研究

The spectral theories of some partially symmetric tensors and its application will be researched by using the method of combining theoretical study with the numerical simulation. Firstly, the spectral theories of several kinds of partially symmetric tensors with important application backgrounds, such as the fourth-order three-dimensional elastic tensors in nonlinear elastic material analysis, the third-order piezoelectric tensors in piezoelectric material research and the semi-symmetric tensors in researches of multi-person multi-strategy cooperative systems, will be deeply and systematically studied. On this basis, the localization (i.e., distribution, estimation and calculation) of the eigenvalues of general partially symmetric tensors will be studied, and some practical algorithms for calculating some important eigenvalues (e.g., spectral radius) of these tensors will be provided on the basis of perfecting their theories. Then these properties and algorithms will be applied to the mathematical models of multi-person multi-strategy cooperative systems established by using tensor for studying the effects of reward, punishment and benefit distribution in cooperative systems and researching the evolution and maintenance mechanism of cooperative behavior in these cooperative.

本项目拟应用理论研究与数值模拟相结合的方法，研究部分对称张量特征值的相关理论和应用问题。首先对几类具有重要应用背景的部分对称张量，如非线性弹性材料分析中4阶3维弹性张量、压电材料研究中的3阶压电张量和多人多策略合作系统研究中的半对称张量的谱理论进行深入系统研究，并在此基础上，对一般的部分对称张量的特征值的定位（即分布、估计和计算）等问题进行研究，在完善其理论的基础上提供一些计算这些张量的某些重要特征值（如谱半径等）的实用算法。然后将这些性质和算法应用到用张量建立的多人多策略合作系统数学模型，应用部分对称张量的谱理论对所建数学模型的理论分析和计算机模拟，探讨合作系统中的奖励、惩罚和利益分配等因素对合作系统的影响，揭示这些合作系统中合作行为的演化和维持机制。

本项目总体上按照项目计划书的计划进行研究，完成了项目计划书所定的研究内容，达到了预期目标。项目主要研究了2方面问题。第一，对具有广泛应用背景的几类部分对称张量，如4阶弹性张量、3阶压电张量和4阶部分对称实张量等的特征值的定位和M-正定性的判定、强椭圆性条件等问题进行了研究，得到了这些张量新的特征值包含区间和M-正定性、强椭圆性条件的新判定条件。第二，将所获部分对称张量特征值的定位理论的研究结果应用于高阶多元Markov链分析、多人多策略合作系统和图像视频数据的压缩、降维和恢复等领域，得到了高阶多元Markov链的转移概率张量的平稳概率矩阵唯一性的新的判定条件、建立了多人多策略合作系统的张量模型、设计了基于张量结构特征的低秩逼近算法，并应用于图像和视频数据的压缩、降维和恢复研究,得到了求解这些问题的几个实用算法。这些研究结果在扩展和完善张量特征值理论的同时，为高阶多元Markov链、多人多策略合作系统和数字图像信息处理等问题的研究提供了新的理论基础和计算机算法。在该基金项目资助下，项目组成员以第一作者或者通信作者发表研究论文20余篇，被SCI检索13篇。项目的部分研究成果已得到张量理论和应用研究的同行专家的关注和引用。