复杂非线性椭圆问题研究

With the development of science and technology, there emerged a large number of complicated nonlinear problem. Complex nonlinear elliptic problem is a basic problem of nonlinear problem, is also current core of the research of elliptic problem,and embodies a concentrated reflection of nonlinear problem. By using the critical point theories on nonlinear functional analysis such as variational arguments, Morse theory and topological degree theory, and combining with the classical elliptic estimates and the techniques in harmonic analysis, we study the solvablity and the properties of solutions, such as existence, multiplicity and the analytical and geometrical properties of solutions of some elliptic problems with complicated nonlinearties. Here the so-called complicated nonlinear elliptic problem mean the elliptic problem with nonlinearity on the boundary, nonlocal nonlinearity, singular nonlinearity and nonsmooth domain;the elliptic problems include p-Laplacian problem, elliptic problem with variable exponents and fully nonlinear elliptic problems. We are mainly interested in studying the existence of variational solution and non-variational solution of the elliptic problem with nonlinear boundary condition, the solvability and multiplicity of solutions of nonlocal elliptic problem and the problem with singular nonlinearities. Our research will further clarify the complex nonlinear effects on the nature of the elliptic problems, and supply some new ideas and methods to related physical and geometrical problems.

随着科学与技术的发展，涌现出一大批复杂非线性问题。复杂非线性椭圆问题是非线性问题的基本问题，也是目前椭圆问题研究的核心，集中体现了非线性问题的难点。本项目拟借助于非线性泛函分析的临界点理论等变分方法以及拓扑度理论、Morse理论等拓扑方法，结合椭圆方程的各种先验估计和调和分析的若干技巧，去研究复杂非线性椭圆问题的可解性、多解性以及解的分析与几何等基本性质。复杂非线性椭圆问题是指具有边界非线性、非局部性、奇异非线性以及非光滑区域上的椭圆问题，椭圆问题主要指p-拉普拉斯问题、变指数椭圆问题以及完全非线性椭圆问题。主要研究在边界上满足某种非线性条件的椭圆问题的变分解以及非变分解,研究非局部椭圆问题以及奇异椭圆问题的可解性与多解性以及解的性质，进一步厘清复杂非线性对椭圆问题的本质影响，为几何、物理等相关问题提供新的思路和方法。

本项目主要使用非线性泛函分析的理论和方法,结合调和分析技巧,研究了具有复杂非线性的椭圆问题的可解性、多解性以及解的性质等问题，其中，解的性质包括正性、奇异性（大解）以及椭圆均匀化理论等，给出了复杂非线性对问题的影响方式，获得了一系列具有深刻意义的结论。具体来说，在具有非线性边界条件的椭圆问题研究方面，发表论文3篇，分别给出了非线性边界条件对正解以及无穷多解的存在性的影响；在非局部问题方面，发表论文1篇，证明了带有对流项及小扰动的非局部问题正解的存在性；在与薛定谔算子相关的椭圆问题方面，发表论文2篇分别讨论了拟线性薛定谔方程孤子解和多解的存在性；在Musielak-Orlic-Sobolev空间及解的正则性研究方面，发表论文4篇，给出了在该类空间中的迹算子的正则性、解的存在性和正则性等结果，有重要的理论意义；在大解及多解的研究方面，发表论文3篇，讨论了半线性和拟线性椭圆问题大解的存在性；而在椭圆均匀化研究方面，发表论文6篇，对带低阶项椭圆方程组的均匀化问题做了系统而全面的研究，开展了对Stokes系统均匀化理论和抛物系统均匀化问题的研究，特别是对于Dirichlet非光滑边值问题，我们得到了几乎最佳收敛速率的估计，以及W1,p估计、速度场及压力项的整体最佳一致估计。总计发表论文20篇。