极值组合中的若干极值集合问题研究

极值组合是组合数学的一个新兴和重要的分支，传奇数学家P. Erdos，当今组合领军人物匈牙利科学院院士L. Lovasz教授，B. Bollobas 教授，美国数学学会前会长美国科学院院士R. Graham教授，以及匈牙利科学院院士G.O.H. Katona教授都对它有着浓厚的兴趣并且做了众多出色的工作。极值集合是极值组合的一大主要研究内容，它主要探求满足一定限制条件的集簇(元素簇)所含集合（元素）个数的最大值或最小值。Erdos在该领域中做了许多开创性的工作，并提出了一些有意义的问题引导着极值集合的研究。本项目将研究三个极值集合方面的问题：布尔格中P-free集簇的极值问题，k-相交置换子集的极值问题和M-part L-Spencer集簇的极值问题。这些问题是极值组合中极具代表性和重要性的研究课题，它的研究将一方面推动极值组合理论本身的发展，另一方面加强与其它相关数学分支的联系。

极值组合是组合学中一个新兴而热门的学科，在今夏韩国举行的数学家大会上有一个一小时报告和四个45分钟报告是关于这一学科的。极值集合是极值组合中一个重要研究课题，由于它和图论研究中的超图理论的研究对象基本一致，所以引起了整个组合图论界的关注。本项目中主要对申请书中提及的三个方面问题进行了研究，并对这些问题进行了推广运用到了编码理论中，具体地，取得了下述研究成果（一）通过借鉴Ellis 等人关于对称群中乘积最大的交叉相交簇的刻画的方法，完整地给出了射影一般线性群PGL(2, q)中乘积最大的交叉相交簇的刻画。（二）给出了著名的极值集合奠基性定理之一的Erdos-Ko-Rado 定理的一个新的代数证明。（三）将极值集合理论中的方法和结果运用到编码理论中，提高了置换码，可分离hash函数簇等不同码类的下界。