凸几何分析中的若干极值问题研究

凸几何分析属整体几何范畴，是国际上近年来研究活跃且发展迅速的几何学分支之一。极值问题,如等周问题,是凸几何学中的核心研究课题, 它与几何分析、偏微分方程、多面体理论、以及数的几何等相互交叉,关系密切.. 本项目拟以凸几何分析中的Lp Brunn-Minkowski-Firey理论和积分几何学中凸体的包含测度、弦幂积分理论为基础，利用几何的方法和分析的方法（如：Steiner对称化、 Radon变换等）以及本项目申请人发展起来的相关内平形体的方法等，主要研究尚未解决的Schneider投影问题和Lutwak-Yang-Zhang猜想、径向平均体的对偶均质积分的极值问题，以及Lp等周问题。.开展本项目的研究可望建立更广泛更严格地仿射等周不等式，得到凸体的新特征。

凸几何分析属整体几何范畴， 是国际上近年来研究活跃且发展迅速的几何学分支之一。极值问题，如等周问题，是凸几何学中的核心研究课题， 它与几何分析、偏微分方程、多面体理论、以及数的几何等相互交叉， 关系密切。. 本项目自立项以来，我们课题组攻坚克难，积极探索， 取得了可喜的成果。 在该基金的支持下，我们已经正式发表文章4 篇，有2 篇文章正式接受发表（数学学报、Science China Mathematics），另有2篇文章正在审稿之中；有4个学生顺利毕业并获得理学硕士学位。. 值得提及的是， 由项目主持人独立撰写、发表在国际著名刊物Adv. Math. 上的文章------ Extremum problems for the cone volume functional of convex polytopes（ Adv. Math., 225(6), pp 3214-3228, 2010）， 解决了凸体几何与多胞形理论中的难题------Lutwak-Yang-Zhang 猜想当空间维数是2，3的情形，所做工作被欧、美同行发表在国际顶尖刊物， 如Journal of AMS, Journal of Differential Geometry, Advances in Mathematics上的文章引用。例如，匈牙利著名数学家Boroczky等即将发表在JDG上的文章-----Affine images of isotropic measures, 4次引用并正面评价了我们的工作； 德国数学家Martin Henk 等发表在Advances in Mathematics上的文章------Cone-volumemeasuresofpolytopes（AdvancesinMathematics253(2014)50–62）三次引用并正面评价了我们的工作。