m维无穷格点上离散非线性薛定谔方程的研究

Discrete nonlinear Schrödinger equation is a nonlinear lattice system, and it is one of the most important inherently discrete models. We mainly study the influence of nonlinear terms and spectrums of discrete Schrödinger operators on the existence and multiplicity of homoclinic solutions for discrete nonlinear Schrödinger equations. Our main contents are as follows: 1) If the temporal frequency ω is a spectrum endpoint of the corresponding operator, we study the existence and multiplicity of homoclinic solutions for a class of periodic equations; 2) If the nonlinearities are asymptotically linear at infinity, we study the necessary and sufficient conditions of the existence of nontrivial homoclinic solutions for a class of periodic equations; 3) If the nonlinearities are asymptotically linear at infinity, we study the existence and multiplicity of homoclinic solutions for a class of periodic (non-periodic) equations in infinite m-dimensional lattices. (To the best of our knowledge, there is no work focus on the above cases.) On the basis of the existed results, combining with our existing research results, we hope that we can solve the proposed problems by using critical point theory and spectral theory of operators in combination with variant fountain theorems, variant generalized weak linking theorems, generalized Nehari manifold approaches and so on. By proposing and solving the problems in the project, it will help to deepen studies of discrete nonlinear Schrödinger equations, and it will extend applications of this theory in related fields.

离散非线性薛定谔方程是一个非线性的格系统，它是最重要的固有离散模型之一。本项目主要研究方程中非线性项和离散薛定谔算子的谱对离散非线性薛定谔方程同宿解的存在性和多重性的影响。主要内容包括：1)当时间频率ω是相应算子谱端点的时候，研究一类周期方程同宿解的存在性和多重性；2)当非线性项在无穷远处是渐进线性的时候，研究一类周期方程非平凡同宿解的存在性的充分必要条件；3)当非线性项在无穷远处是渐进线性的时候，研究一类m维无穷格点上周期（非周期）方程同宿解的存在性和多重性。（据我们所知，目前还没有上面这些结果。）希望在已有结果的基础上，结合我们现有的成果，利用临界点理论和算子的谱理论，以及变化的喷泉定理、变化推广的弱环绕定理和推广的Nehari流形等工具对所提出的问题予以解决。本项目中问题的提出和解决，将有助于深化离散非线性薛定谔方程的研究并拓展该理论在相关领域中的应用。

离散非线性薛定谔方程是一个非线性的格系统，它是最重要的固有离散模型之一。本项目主要研究了以下几个方面的内容：1) 当时间频率是相应算子谱端点（或者不属于谱）的时候，得到了一类周期离散薛定谔方程基态同宿解存在性的相关结果；2) 当非线性项在无穷远处是渐进线性的时候，得到了一类周期离散薛定谔方程非平凡同宿解存在性的充分必要条件；3) 当时间频率属于或不属于相应算子的谱，且非线性项的原函数变号或不变号的时候，得到了一类非周期离散薛定谔方程同宿解存在性和多重性的相关结果；4) 当非线性项在无穷远处是次线性的时候，得到了带有扰动项的周期或非周期离散薛定谔方程基态同宿解存在性的相关结果，以及扰动项在零点附近时同宿解连续性的相关结果。本项目中问题的提出和解决，将有助于深化离散非线性薛定谔方程的研究，并拓展该理论在相关领域中的应用。