离散非线性薛定谔方程孤立子的存在性和多重性的研究

We mainly study the existence and multiplicity of solitons for discrete nonlinear Schrödinger equations. Discrete nonlinear Schrödinger equation is a nonlinear lattice system, and it is one of the most important inherently discrete models. Our main research contents are as follows: 1) If the nonlinearities are asymptotically or super linear at infinity, we study the existence and multiplicity of solitons for these equations; 2) If the nonlinearities are asymptotically linear at infinity, we study the necessary and sufficient conditions of the existence of solitons for these equations; 3) If these equations are non-periodic, we study the existence and multiplicity of solitons for these equations. There are some difficulties in the study of these equations. For examples: these equations may be strongly indefinite, the coefficients and the nonlinearities of these equations may be non-periodic and so on. On the basis of the previous work, combining with our existing research results, we hope that we can discover these difficulties and do further discussion of the existence and multiplicity of solitons for discrete nonlinear Schrödinger equations by using critical point theory, (generalized) weak linking theorem, (generalized) Nehari manifold approaches and so on.

本项目主要研究离散非线性薛定谔方程孤立子的存在性和多重性。离散非线性薛定谔方程是一个非线性的格系统，它是最重要的固有的离散模型之一。我们研究的主要内容包括：1）当非线性项在无穷远处是渐进线性或超线性的时候，研究这类方程的孤立子的存在性和多重性；2)当非线性项在无穷远处是渐进线性的时候，研究这类方程的孤立子的存在性的充分必要条件；3）当这类方程没有周期性假设条件的时候，研究方程的孤立子的存在性和多重性。研究这类问题会遇到的困难有：离散非线性薛定谔方程可能是强不定的，方程中的系数或者非线性项可能没有周期性假设等。希望在前人工作的基础上，结合我们已有的研究成果，利用临界点理论和算子的谱理论，以及（推广的）弱环绕定理和（推广的）Nehari流形等工具克服这些困难，对离散非线性薛定谔方程孤立子的存在性和多重性作进一步的探讨。

离散非线性薛定谔方程作为非线性的格系统是最重要的离散模型之一。本项目主要研究了以下两个方面的内容：1）对于一类周期的离散非线性薛定谔方程，当非线性项在无穷远处是渐进线性和超线性的不同情况下，我们得到了这类方程的孤立子的存在性和非存在性，并且得到了孤立子在无穷远处具有按指数衰减的性质；2) 对于一类非周期的离散非线性薛定谔方程，当非线性项在无穷远处是超线性的时候，我们证明了这类方程具有无穷多个孤立子。相关研究成果对离散非线性薛定谔方程孤立子的存在性和多重性等问题具有较重要的意义。