基于压缩感知的信号恢复条件

Compressed sensing (CS) is a new type of sampling theory which guides information acquisition. CS achieves data acquisition with sampling rate significantly lower than the Nyquist-Shannon rate, and reduces the amount of data needed to signal recovery. It is widely used in many fields including pattern recognition, coding theory, medical imaging, signal and image processing as well as wireless communication. On the basis of the existing recovery conditions of signal sparse recovery, this project intends to study the recovery conditions of signals with different characteristics based on compressed sensing, including recovery conditions of signals with known partial priori information, the block structure as well as known partial prior information and block structure. We anticipate establishing the recovery conditions based on RIP via the weighted lp minimization with a single weight and non-uniform weights，the recovery conditions based on block RIP via the mixed l2/lp minimization and the general sharp recovery conditions based on block RIP with ROC via mixed l2/l1 minimization, as well as the recovery conditions based on block RIP via the weighted l2/lp minimization with a single weight and non-uniform weights.

压缩感知是一种新的信息获取指导理论,实现了远低于奈奎斯特–香农采样频率的数据采集,减少了信号恢复所需要的数据量,广泛应用于模式识别、编码理论、医学成像、信号和图像处理以及无线通信等众多领域.在已有关于信号稀疏恢复的恢复条件的工作基础上,本项目拟研究基于压缩感知的具有不同特征信号的恢复条件,包括已知部分先验信息的信号恢复条件、具有块结构的信号恢复条件以及已知部分先验信息的具有块结构信号的恢复条件.希望建立单权值与多权值加权lp极小基于RIP的恢复条件、混合l2/lp极小基于块RIP的恢复条件和混合l2/l1极小基于一般的块RIC和块ROC的最优恢复条件,以及单权值与多权值加权l2/lp极小基于块RIP的恢复条件.

本项目研究了基于压缩感知的具有不同特征信号的恢复条件。压缩感知理论利用信号的稀疏性，通过少量的观测数实现信号的重构。这一理论广泛的应用于图像处理、信号恢复等，并在核磁共振、雷达等实际应用中得到体现。现实中的信号除了稀疏这一特征之外，可能具有非零元素成块出现或者部分信息已知等特点。限制等距性质(RIP)是算法重构信号需要满足的条件之一，用于刻画度量矩阵的子矩阵接近正交阵的程度。首先，我们考虑了具有块结构信号的恢复条件。研究混合l2/l1极小恢复具有块结构的信号基于高阶块RIP的恢复保证，并讨论了其最优性以及与标准l1极小之间的关系。我们推广得到了块结构下多胞体的稀疏表示技术，并对信号进行合适的块分解，得到了混合l2/l1的锥约束不等式，利用此技术和不等式，建立了无噪音和有噪音下，混合l2/l1极小精确和鲁棒恢复块稀疏(近似块稀疏)信号的高阶块RIP恢复条件，给出了l2范数下的误差估计，最后给出一个具体的例子说明该高阶块RIP恢复条件是最优的。当信号的每个块结构中的元素只有一个时，该结果就回归到标准l1极小的结果。然后，我们考虑了已知部分先验信息的信号恢复条件。研究多权值(权值不同)加权lp(0<p=<1)极小恢复部分支集信息已知的信号基于高阶RIP的恢复条件，讨论其与单权值(权值相同)加权lp极小、多权值加权l1极小、单权值加权l1极小之间的关系。我们对信号向量进行了恰当的分解，建立了多权值加权lp的锥约束不等式。利用这个不等式，再结合lp范数刻画的多胞体的稀疏表示，建立了无噪音和有噪音下，多权值加权lp极小精确和稳定恢复稀疏信号基于高阶RIP的恢复保证，给出了l2范数下的误差估计。当p=1时，我们得到的结论回到现有的多权值加权l1极小值的结果；当权相同时，我们的结果与标准的单权值加权lp极小结果一致；当p=1，权值相同时，我们的结果与已有的单权值加权l1极小结果相同。