马尔可夫分割在一些分形集中的若干应用

Many problems in dynamical systems are related to fractal geometry, in particularly some fractal sets generated by some dynamical systems. Usually one needs some techniques in fractal geometry to study these sets. Similarly, many ideas in dynamical systems can be utilised in fractal geometry, for instance, to investigate the self-similar sets. Any self-similar set can be viewed as a topological dynamical system, therefore, we may study the self-similar sets in terms of the dynamical systems. In this project we make use of some ideas in dynamical systems to give a Markov partition for some self-similar sets or some fractal sets generated by some open dynamical systems. Subsequently we transform the self-similar set or the survivor set generated by open dynamics into a graph-directed self-similar set with the open set condition or the strong separation condition. Once we have this transformation, some problems could be easier, for example, the following two problems, analysing the set of points with multiple codings for some self-similar sets, investigating some fractal sets generated by the open dynamical systems. In brief, we hope that some new techniques can be found by investigating overlapping self-similar sets and some fractal sets.

动力系统的很多问题都是跟分形有关的，尤其是由动力系统产生的分形集， 这些分形集往往需要分形几何中的工具和技巧 。 类似地， 动力系统中的很多技巧也都是可以移植到分形几何中，尤其是研究自相似集。任何一个自相似集都可以看作是一个拓扑动力系统， 因此我们通过动力系统来研究自相似集。本课题利用动力系统中一些想法对一些重叠的自相似集（或者一些开系统产生的分形集）做个马尔可夫分割， 这样就把原来有重叠的自相似集（或者一些开系统产生的分形集）转变成满足开集条件或者强分离条件的有向图自相似集合。有了这个转换， 一些问题就会变的容易一些， 比如，下面的两个问题： 某些自相似集中具有多个码的点集的分析， 由某些开系统产生的分形集的分析。 总之，通过本项目的研究我们希望能在研究重叠自相似集和一些分形集上的方法上有所创新。

本项目三年中基本上完成了预期的目标。本项目主要应用马尔可夫分割处理了一类重叠自相似集。预计的几篇论文也是顺利的被杂志接受。后续还有多篇论文在审查之中，暂时没有被杂志接受。本项目的研究背景是对重叠的自相似集从多码的角度去理解。这个问题是分形几何中最基本的几个问题之一。这些研究内容延伸出来其他的一些问题的研究，比如自相似集上的算术研究等课题。我们也进行了研究。.我们得到了下列的结果：.1. 对于一类重叠自相似集的多码集进行了比较系统的研究，得到了多码集的维数结果，测度结果以及一些拓扑结果。 对于这些自相似集进行了分类，得到了Lipschitz 等价的彻底刻画，并且得到了Lipschitz 等价和测度熵意义下的同构是等价的结果。对于自相似集具有唯一码点集和自相似集本身是共鸣的结果。结果发表在Math.Z., Advances in Applied Mathematics, Acta Arith.关于分类的结果投Ergodic Theory and Dynamical Systems上。一篇被Discrete and continuous dynamical systems接受。关于多码的研究我们把这些问题延伸到几何测度论上的截集问题，并且考虑了类似的结果。 结果发表在Ann. Acad. Sci. Fenn. Math.上。.2. 对于延伸开去的分形上的算术，我们研究了很多充分条件使得在这些条件下算术运算下分形集的像是个区间或者包含内点。 这些研究刻画了分形上的实数的表示。 最近我们得到了非常一般的康托集上的运算结果，利用康托集厚度的概念以及偏导数的一些不等式得到了一般高维情形下的连续像是个区间或者包含的内点的结果，这些结果大大推广了Newhouse厚度定理的结果。可以看做是经典厚度定理的非线性版本。这块内容发表在Journal of Mathematical Analysis and Applications, Journal of Number Theory, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math.等杂志上。最一般的非线性版本的结果投在Math.Z.这个杂志上。 .总之，此项目的研究问题已经得到预期的结果，并且得到了更进一步的相关课题的研究。