广义度量空间中关于对角线及其相关问题研究

The theory of generalized metric spaces is an important research direction in general topology. In this field, there are many topological problems on diagonal properties unsolved. In recent years, these problems has attracted wide attention of scholars in China and abroad; and many public problems were raised, such as " Does any space with a regular G-delta diagonal have a rank 2-diagonal", "Is a star compact Moore space metrizable?". In this program, we will apply set-theoretic method and focus on some important problems on the diagonal properties. The research content mainly includes the influence of the diagonal properties on the cardinalities of topological spaces and the relationship between the star covering propertis and other covering properties. The research contents among each other have a close relationship. This program will promote the theory of generalized metric spaces, and will expand the international influence of the research on general topology of our country to some extent.

广义度量空间理论是一般拓扑学中一个重要的研究方向。在这个领域里，还有许多围绕对角线性质的拓扑问题至今尚未解决。近年来，这些问题受到了国内外学者广泛的关注，并且一些公开问题被提出来，如正则G-德尔塔对角线是否蕴含二阶对角线？星紧的 Moore 空间是否可度量化？本项目采用集论方法，围绕关于对角线性质的几个重要问题展开研究，研究内容主要包括对角线对于拓扑空间基数的影响以及星覆盖性质与其他覆盖性质的关系。这些研究内容彼此之间有着紧密的联系。本项目的研究将会推动广义度量空间理论，在一定程度上提升我国一般拓扑学研究在国际上的影响力。

广义度量空间理论是一般拓扑学中一个重要的研究方向。本项目主要应用集论方法在广义度量空间中围绕对角线性质及相关问题展开研究。我们主要做了以下工作：1. 建立了一些有对偶性质且有Gδ 对角线空间相关的基数不等式；2. 建立了一些有DC(ω1)性质且有Gδ 对角线空间相关的基数不等式；3. 建立了一些对称g-函数（Gδ 对角线性质的推广）相关的基数不等式；4. 证明了具有DCCC性质的Moore空间可以有任意大的基数；5. 证明了具有DCCC性质正规的有Gδ 对角线空间未必是CCC；6. 证明了在集论假设下第一可数star-Lindelof正规空间未必有可数的extent; 7. 证明了一个关于零集对角线相关的度量性定理。该项目到目前在国际期刊上已发表6篇论文，其中2篇为SCI，解决了3个拓扑公开问题。我们的工作推动了广义度量空间理论，在一定程度上提升了我国一般拓扑学研究在国际上的影响力。