一类退化椭圆方程的边界正则性研究

退化椭圆方程是经典的一致椭圆方程的极限情形，具有重要的理论价值，比如研究它可以让我们在一个新的高度上重新认识调和分析和牛顿位势理论，从而建立起关于椭圆方程更加全面的理论基础。同时退化椭圆方程也有着十分广泛的应用背景，比如用它来研究跨音速流体问题（该问题可以归结为一个混合型方程，而在流体进行亚音速流动的区域里，可以归结为一个退化椭圆方程），而掌握跨音速流体的性质在飞行器的设计和制造等工程中是非常重要的。另外在一些医学图象处理中，也涉及到退化椭圆方程的研究。各种类型的退化椭圆方程是近年来偏微分方程研究领域中十分活跃的方向之一，但仍有很多重要的问题没有解决。本项目将主要研究一类线性退化椭圆方程在Lipschitz 区域中的边界正则性估计，并为拓展其在实际中的应用奠定良好的理论基础。

退化椭圆方程是经典的一致椭圆方程的极限情形，具有重要的理论价值和十分广泛的应用背景。国内外关于这类方程已有很多研究成果，我们针对其中一类退化椭圆方程在Lipschitz 区域中的边界正则性进行了深入研究。首先，我们给出了一个和这类退化椭圆方程相对应的内在距离函数，按照这个距离的定义，这类退化椭圆方程是伸缩不变的。这样我们可以在不同尺度下观察解的变化情况。其次，通过构造一族不同尺度的障碍函数，并使用迭代技巧，我们得到了解在边界的Holder估计。再次，在研究中我们还通过数值实验的方法得到退化椭圆方程的解的梯度在边界的近似值，帮助研究所得到的结论。最后，为了将类似的结论推广到抛物方程中去，我们还研究了非线性抛物方程的Holder估计和抛物距离空间中Holder连续函数的延拓性质。另外，我们还研究了一类方程组有解的条件及其Pohozhaev恒等式。通过上述工作，我们得到了一些结论，目前已在国内及国际学术期刊上发表论文4篇，还有部分工作已投稿于SCI期刊。