可解群在齐性空间上的作用及其应用

Dynamics on homogeneous spaces is an important area of dynamical systems. Homogeneous dynamics has broad applications in number theory and mathematical physics. This project will study solvable group actions on homogeneous spaces and its applications. It aims to develop some tools, solve several scientific problems and increase the knowledge on homogeneous dynamics, number theory and mathematical physics. The project contains the following four parts: (1) Solvable group actions on homogeneous spaces; (2) Random walks for solvable group actions on homogeneous spaces; (3) Whether Dirichlet's theorem can be improved for generic points of a measure; (4) The statistical properties of the first hitting time for a particle moving along a straight line in periodic scatters.

齐性空间上的动力系统是动力系统研究的重要方向。齐性动力系统在数论和数学物理等领域有着广泛的应用。本项目将围绕可解群在齐性空间上的作用及其应用进行研究，以期发展方法解决若干关键科学问题，加深人们对齐性动力系统、数论和数学物理等领域的了解。本项目拟就以下四个方面开展研究:(1)可解群在齐性空间上作用的刚性；(2)可解群在齐性空间上作用的随机移动;(3)狄利克雷定理对于某些测度的泛点是否可以改进;(4)直线运动的质点与周期分布的障碍物碰撞时间的统计分布性质。

齐性空间上的动力系统与数论和数学物理等多个数学分支有着广泛而深刻的联系，因此是基础数学研究的重要方向。本项目围绕可解群在齐性空间上的作用及其应用展开研究，解决了若干关键科学问题，加深了人们对齐性动力系统和数论等领域的了解。项目研究得到了以下四个方面的重要结果。（1）证明了任一齐性空间上单参数子群作用的发散轨道的维数严格小于空间的维数，从而肯定了张翼华发表于数学年刊的文章中的一个猜想。我们给出了一类乘积空间的发散轨道的维数公式。（2）证明了Birkhoff遍历定理对一类子流形的泛点成立。（3）证明了半单李群的不可约商空间上的多重等度分布定理，并给出了收敛速度的定量估计。基于这些定量估计，我们证明了带同余条件的Khinchin-Groshev定理和齐性空间上的中心极限定理。（4）证明了多重等度分布的定量估计可以推出定量的多重遍历定理。