黎曼流形上几类反应扩散方程（组）解的整体存在性

This project will investigate the following problems:.(1) We study reaction-diffusion system on Riemannian manifolds, focusing on the global existence of solution, the phenomenon of singularity formation including blow-up and issues of loss of regularity (in shock formation, for example) and asymptotic behavior near the singular points..(2) We use some new inequalities involving the heat kernels and appropriate energy estimates to investigate critical exponent of Fujita type of.reaction-diffusion system.. This project will promote the frontier key research topics of reaction-diffusion system on Riemannian manifold and has great scientific significance in both geometry ,physics and theoretical aspects.

本项目拟着重研究下述几方面的问题：（1）在黎曼流形上研究反应扩散方程（组），着重研究在非紧致、完备的黎曼流形上反应扩散方程（组）的整体解存在性、奇性的形成机制（爆破、在激波形成中正则性的丢失）以及在奇点附近解的渐近行为；（2）通过涉及热核的一些新的不等式，运用合适的能量估计，研究其Fujita型临界指数。通过本项目的研究，有助于推动在黎曼流形上对反应扩散方程（组）的前沿热点问题的探讨；不仅具有几何物理意义，而且还具有重要的理论意义

扩散是最普遍的自然现象之一，在物理学、化学、生物学及工程学科中都存在大量的扩散现象，而这一现象用数学语言去描述通常可以用反应扩散方 程（组）来刻画，对这一类型方程（组）的科学研究长期以来是一个具有重要 意义的课题，有很多问题有待于我们去研究与探索。数学家们最早是在欧氏空 间里对其进行研究的,也获得了非常多的具有重要意义的研究成果，但是在黎曼流形上研究相应的问题的结果就比较少，我们需要很多新的技巧来研究，同时这一问题也引起了许多数学家的高度关注，本项目的研究结果主要有：我们将获得的结果及方法，尝试运用到其他类型方程的理论研究，对在黎曼流形上的非线性带临界位势的波动方程整体解的存在性进行研究研究，获得了其局部解的存在性和整体解的不存在性，相比于已有结果(Todorova and Yordanov in C. R. Acad. Sci., Sér. 1 Math. 300:557-562, 2000)更为一般的结论，我们所用的方法是受Qi S. Zhang (C. R.Acad. Sci., Sér. 1 Math. 333:109-114, 2001)的启发；我们也证明了其局部解的存在唯一性；同时也提出了一个新的具有旋转不变量的几何流，并证明了其整体解的存在性，其结果已经在审稿中。研究结果具有重要的科学意义，可以推动在黎曼流形上对反应扩散方程和波动方程前沿热点问题的研究。