基于尺度结构种群模型的几类非线性微分方程的定性分析

Considering the growth rate of different individual size, this project proposes some nonlinear size-structured population models in terms of a one-order quasilinear partial differential equation with nonlinear boundary condition. According to different research aims and objectivse, size-structured population models can be transformed into non-densely defined problems, periodic differential equations with state-dependent delay, parabolic partial differential equations with state-dependent delay and non-local reaction-diffusion equations with state-dependent delay, respectively. By improving the relevant theories and extending the existed ideas and methods, these equations will be studied under their theoretical frameworks, respectively. We will study dynamic behavior of some nonlinear size-structured population models, discuss Hopf-bifurcation for non-densely defined problems of nonlinear size-structured population model, investigate dynamic behavior of periodic differential equation models with state-dependent delay, establish center manifold and Hopf-bifurcation theories for parabolic partial differential equations with state-dependent delay, discuss stability，global attractivity and travelling waves of non-local reaction-diffusion equation models with state-dependent delay on bounded domains and unbounded domains, respectively. Finally, using the actual data, some numerical results and algorithms are performed to illustrate our main results.

针对不同个体尺度下的生长速率，本项目首先利用具有非线性边值条件的一阶拟线性偏微分方程建立尺度结构种群模型。其次，根据不同的研究目的和研究对象，将尺度结构种群模型分别转化为非稠定柯西问题、状态依赖时滞周期微分方程、状态依赖时滞抛物型微分方程和非局部状态依赖时滞反应扩散方程。进而，通过建立和完善相关理论，推广已有思路和方法，在相应的理论框架下具体研究：(1)一类非线性尺度结构种群模型的动力学行为；(2)一类非线性尺度结构种群模型的非稠定柯西问题的Hopf分支；(3)一类具有状态依赖时滞周期微分方程模型的动力学行为；(4)具有状态依赖时滞抛物型微分方程的中心流形和Hopf分支定理；(5)一类非局部状态依赖时滞反应扩散方程模型的全局吸引性、稳定性和行波解。最后，结合实际数据，借助数学软件进行数值模拟，验证所获得的结果。

本项目主要研究基于一阶拟线性偏微分方程的状态依赖时滞微分方程的研究，内容包括：（1）状态依赖时滞抛物偏微分方程的稳定性准则；（2）由食物竞争引起的状态依赖时滞种群模型的稳定性和Hopf分支；（3）基于尺度结构种群模型的状态依赖时滞细胞分化模型的定性分析；（4）一个非线性尺度结构种群模型解的行为；（5）一个周期尺度结构空间蚊子模型的动力学行为；（6）一个周期时滞竞争模型周期解的吸引性；（7）一个周期时滞反应扩散标量方程的行波解；（8）一个非局部扩散的NPZ模型的全局动力学行为；（9）一个退化的空间扩散NPZ模型的全局稳定性；（10）基于年龄结构模型的不育雄蚊和感染蚊子的繁殖率对蚊媒疾病动力学的影响；（11）2个具有非线性收获的捕食模型的分支和数值模拟；（12）一个针对时滞模型的分阶段艾滋病治疗的优化策略问题。