非线性薛定谔方程的保结构算法与应用

This project mainly involves the application of the symplectic algorithm to the high-order nonlinear Schr?dinger equation and to the Gross-Pitaevskii (GP) equation. Firstly, the symplectic algorithm is used to solve the time-dependent cubic and quintic nonlinear Schr?dinger equation, the split step Crank-Nicolson scheme is also considered, and we discuss the dynamic evolution of its solution; Optimize the improved symplectic shooting method (ISM), and apply it to the time-independent GP equation (whose form is similar with the nonlinear Schr?dinger equation) which is used to descrip the Bose-Einstein condensation, improve the normaliztion of the solution, and investigate the static property of the condensation. Secondly,apply the symplectic scheme to the time-dependent GP equation, increased the accuracy, study the evolution of the root mean square radius of the condensate when the system parameter is varied periodically; Study the interference phenomenon of the condensates. We suggest to use the harmonic potential and the Gaussian energy barrier together, and simulate the interference of the condensates numerically; Study the dynamic property of the condensates within one potential, and it is expected that we can obtain more accurate periodically evolution by computation with high order accuracy. Thirdly, study the symplectic structure of the coupled GP equation, construct symplectic scheme for this kind of equation, and discuss the tunnelling effect,the self-trapping effect as well as the spontaneous symmetry breaking effect of the condensates in the double well. In conclusion, all these applicable structure-preserving algorithm research have important basic theoretical significance and applicational value.

本项目主要研究辛算法在高阶非线性薛定谔方程及Gross-Pitaevskii(GP)方程中的应用。 首先将辛算法用于含时立方五次方非线性薛定谔方程，结合分步Crank-Nicolson格式，讨论方程解的动力学演化；优化改进的辛打靶法（ISM），用于描述玻色-爱因斯坦凝聚的定态GP方程（具有非线性薛定谔方程的形式），改进解的归一化，研究凝聚体的静态性质。 其次，将辛格式用于含时GP方程，提高精度，研究系统参数周期性变化时，凝聚体的均方根半径的演化；研究凝聚体的相干现象，提出简谐势阱与高斯能垒相结合，数值模拟凝聚体的干涉；研究同一陷俘势中凝聚体的动力学性质，以期高精度的计算能给出精准的周期性演化结果。 再次，研究耦合GP方程的辛结构，构造该类方程的辛格式，数值地研究双阱中凝聚体的隧穿、自囚禁及自发对称性破缺。 总之，以上有直接应用特色的保结构算法研究具有重要的基础理论意义和应用价值。

本项目研究了辛算法在高阶非线性薛定谔方程及描述玻色-爱因斯坦凝聚的Gross-Pitaevskii（GP）方程中的应用。主要研究结果报告如下: . 1、研究了高阶非线性薛定谔方程的动力学。采用了基于有限差分的辛格式，研究了立方五次方非线性薛定谔方程的保结构计算，计算了守恒量，讨论了在简谐调制的初值下方程的动力学行为以及不同立方项及五次方项时方程的动力学变化路径；用高阶有限差分辛格式研究了立方五次方非线性薛定谔方程解模式的漂移现象，给出了漂移速度与五次方项的关系。. 2、利用辛算法进行了含时GP 方程的理论研究和保结构计算。将辛算法应用于描述玻色-爱因斯坦凝聚的1维含时GP 方程，通过周期性地调节简谐势阱的角频率，给出了凝聚体均方根半径随时间的演化，研究了凝聚体的非线性共振现象；准周期性地调节简谐势阱的角频率，模拟了凝聚体的自共振等现象。. 3、用高阶辛格式数值求解了一维含时GP方程，研究了两个独立的凝聚体间的干涉现象。模拟了粒子数相同或不同，相位不同的两个凝聚体间的干涉，讨论了处于同一陷俘势中的两个凝聚体的周期性演化。. 4、将辛算法用于耦合GP 方程，研究了描述双阱双组态BEC 的耦合GP 方程的双模模型，讨论了初始布居数差和相对相位对系统动力学性质的影响，研究了凝聚体的约瑟夫森振荡现象与自囚禁现象，并进一步讨论了三种不同的自囚禁现象。. 另外，还做了如下相关的理论及计算工作：进行了Kerr-Newman度规下径向Dirac方程的数值研究。将研究扩展到了Birkhoff系统。研究了Birkhoff框架下完整和非完整系统的离散变分算法以及非Hamilton系统的离散变分计算；研究了基于非标准Hamilton函数的非线性动力学问题，得到了在指数Hamilton函数下的非标准Hamilton方程及相应的非线性动力学性质。