约束力学系统的保自伴随算法及应用

Based on the variational self-adjoint theory of constrained systems, starting from the algebraic structure of constrained systems, the foundational idea of structure-preserving algorithms is utilized to realize the research of the self-adjoint-preserving algorithms for constrained mechanics systems, which expand the preserving symplectic algorithms to more general structure-preserving ones. The main contents include:(1) The self-adjoint- preserving algorithms for holonomic systems and its application. (2) The self-adjoint-preserving algorithms for nonholonomic systems under the Lagragian and Hamiltonian frameworks and its application. (3) The self-adjoint-preserving algorithms for nonholonomic systems under the generalized Birkhoffian framework and its application. (4) The self-adjoint-preserving algorithms based on the symmetry reduction theory. Research meaning: (1) A new researching way of the preserving structure algorithm is opened up, which expand the structure-preserving algorithms from preserving geometric structure to preserving algebraic structure. (2) The applied range of structure-preserving algorithm is enlarged, which make it not only suitable for the conservative systems that possess simple symplectic structure, but also for the nonconservative systems, nonholonomic systems and singular systems,etc., which don't have the symplectic structure, even the momentum mapping is not a conserved quantity. (3) The new development of constrained system dynamics is promoted, lay a solid geometric and algebraic foundation for the research of structure-preserving algorithms, at the same time, and build the bridge and ligament that contact the theoretical research of constrained systems and practical application of engineering.

本项目基于约束力学系统的变分自伴随理论，利用保结构算法的基本思想，从约束力学系统的代数结构出发，研究约束力学系统的保自伴随算法，将约束系统的保辛算法拓展为更一般的保结构算法.内容包括：(1)完整系统的保自伴随算法及应用；(2)Lagrange和Hamilton框架下非完整系统的保自伴随算法及应用；(3)广义Birkhoff框架下非完整系统的保自伴随算法及应用；(4)基于对称约化理论的保自伴随算法。研究意义：(1)开辟约束系统保结构算法研究的新途径，将保结构算法从保几何结构拓展到保代数结构；(2)扩大保结构算法的应用范围，使其不仅适用于具有简单辛结构的保守系统，同时也适用于没有辛结构，甚至动量映射也不守恒的非保守系统、非完整系统和奇异系统等；(3)促进约束系统动力学的新发展，为约束系统的保结构算法研究奠定坚实的几何和代数基础的同时，建立联系约束系统的理论研究与工程实际应用之间的桥梁和纽带.

研究背景：约束力学系统的几何动力学与保结构计算一直以来都是约束系统和数值分析领域的重要研究内容，在动力学系统的全局分析，建模和数值仿真中占有重要的地位，同时也是约束系统动力学在控制等领域应用的重要理论基础。本项目基本按原定计划执行，并在此基础上对一些新问题进行了探索。.研究内容及重要结果：（1）深入研究了约束力学系统的几何动力学问题，给出了Riemann-Cartan空间上的准动量映射并改进了场方法；（2）研究了Birkhoff动力学和广义Birkhoff力学逆问题，在广义Birkhoff框架下构造了非完整系统的保自伴随算法，该算法具有能够保持动力学系统的广义辛几何结构的特点；（3）研究了完整系统的对称约化及其对数值计算的影响，得出对称约化对完整系统的数值结果不产生本质的影响，但通过对称约化可以简化编程难度和减少计算机时；（4）基于梯度系统，采用初始运动方法，研究了约束系统的运动稳定性和平衡稳定性问题，降低了平衡稳定性分析的复杂性，简化了Lyapunov函数构造的难度；（5）利用变分方法，通过构造指数形式的Hamilton作用量，得到了非标准形式的Hamilton方程，并研究了其在非线性动力学中的应用问题；（6）探索了约束系统的保结构算法在极端条件和非线性动力学中的应用问题，讨论方程解的空间演化及其等高线图，发现方程解的模式漂移速度随着五次方非线性参数的增加而减慢。.科学意义：(1)开辟约束系统保结构算法研究的新途径，提出了保自伴随算法，将保结构算法从保几何结构拓展到保代数结构；(2)扩大保结构算法的应用范围，使其不仅适用于具有简单辛结构的保守系统，同时也适用于没有辛结构，甚至动量映射也不守恒的非保守系统、非完整系统和奇异系统等；(3)促进约束系统动力学的新发展，深化了几何动力学的研究，拓展了约束系统保结构算法的应用领域；（4）非标准Hamilton方程及其应用的研究拓宽了约束系统动力学的研究范围，同时发展了运动稳定性和平衡稳定性的研究新途径。