代数的 Leading homogeneous (monomial) 代数及其应用研究

本项目拟从理论和方法两个方面对上个项目（10571038）的研究工作所开辟的通过使用Grobner基确定的leading homogeneous (monomial) 代数算法地认识和确定一般结合代数的整体结构性质的有效途径继续进行探索, 强化和深化已有的结果，以期得到更广和更深层面的应用结果. 本研究工作以 (Almost) skew 2-nomial 代数（覆盖上一个项目涉及的quadric可解多项式代数，包含交换代数与代数表示论中十分重要的binomial 代数, 特殊的半群代数，特殊的path代数，以及Automaton代数）和类似代数为具体模型，研究内容包括这类代数及其模上Grobner基理论的存在性与算法可行性的探索，这类代数若干重要结构性质和几何性质的算法实现，以及这类代数上模的结构性质和特殊模的构造的算法实现等等.

进一步深化和发展了我们在实施完成上一个项目(10571038)时所建立的由Grobner基确定的代数的Leading homogeneous (monomial) 代数为支柱的构造性PBW理论，并将其有效地应用于认识和确定结合代数的整体结构性质的研究以及非交换代数几何相关论题之研究，取得了几项有突破性的研究成果: (1) 在Grobner基理论中第一次给出了只有单边Grobner基理论的重要代数类并发展了(almost)skew 2-nomial代数的(单边, 双边)Grobner基理论; (2) 通过引入dh-closed (交换与非交换)齐次Grobner基, 第一次给出了dh-closed齐次Grobner基与非齐次Grobner基的一一对应关系, 并由此给出通过计算齐次Grobner基得到非齐次Grobner基的算法步骤; (3) 第一次建立了环上具有monic Grobner定义关系的代数的构造性PBW理论并给出若干有效应用结果; (4) 第一次应用Grobner基确定了交换代数几何中经典的Valuation理论在非交换代数(几何)上扩张的存在性; (5) 第一次应用Grobner基给出N-分次代数半本原性的算法确定途径; (6) 第一次给出(半群)分次局部环的确切定义, 给出完整刻画并确定其重要的同调代数性质, 为将经典局部环的Grobner基方法应用到确定分次局部环上模的重要同调性质并应用于非交换投射几何奠定了可行基础.