无限维近可积哈密顿系统中不变环面的保存性研究

KAM理论是经典力学里讨论近可积保守系统（哈密顿系统，可逆系统，保体积映射）的动力学性态的著名理论，是处理小分母问题的重要工具。三个字母分别代表其创立者：苏联数学家 Kolmogorov和 Arnold，以及德国数学家 Moser.有限维KAM理论是指：非退化的可积系统在保守的微小扰动后，虽然某些不变环面会被破坏掉，但仍会有相当多的环面被保存下来。比利时数学家Bourgain曾在上世纪九十年代提出一个公开问题：可否将他的有限维相空间的具有指定频率的不变环面的存在性结果推广到无限维中去？即是否可以给出一个无限维KAM定理？本项目旨在回答这个问题，通过研究几个有重要力学、物理学背景的非线性偏微分方程的拟周期解或概周期解的存在性和稳定性，力求得到无限维相空间被无数个具有指定频率的不变环面分层的现象，包括低维和全维不变环面两种情形。所得结果很可能适用于可逆系统，从而增加KAM理论的应用价值。

本项目主要完成两项内容。第一、将有限维Hamiltonian 系统中，具有指定频率的KAM不变环面的保存性结果推广至无限维Hamiltonian 系统。 之后，将Hamiltonian 框架下的结果推广至无限维 Reversible 系统（完成两篇研究论文，目前处于审稿状态）。第二、由于在Hamiltonian 系统中，非常系数的波动方程的周期解的存在性结果比较多，但相应的拟周期解的结果尚未出现。本项目另外研究在各向异性介质中传播的波所满足的方程：一维非常系数非线性波动方程， 考虑其拟周期解的存在性。这些研究内容都有一定的物理背景, 对非线性科学的研究有一定价值（研究中）。