和Jordan代数相关的月光型顶点算子代数的研究

The moonshine type VOAs are certain kinds of VOAs satisfying some special properties, in which the important `moonshine VOA' being one of the examples. In this research program, we focus on the moonshine type VOAs whose Greiss algebras are Jordan algebras. Based on the work of Ashihara, Miyamoto, Lam, etc., and some previous results obtained by the applicant, we will make a further study on the construction and algebraic structure of the moonshine type VOAs whose Greiss algebras are Jordan algebras, together with their representations. In the meantime we compute the character formulas of these VOAs and discuss their geometric meanings.

月光型顶点算子代数是一类具有特殊性质的顶点算子代数，重要的月光顶点算子代数即是其中一类。在本研究项目中，我们主要研究Greiss代数同构于Jordan代数的月光型顶点算子代数。基于Ashihara、Miyamoto 以及林正洪等人的结果，和申请者本人之前的一些工作，我们进一步研究Greiss代数同构于Jordan代数的月光型顶点算子代数的相关构造、结构以及表示，同时计算它们的特征公式并分析其几何意义。

在本项目中，我们研究了Greiss 代数同构于 Jordan 代数的月光型顶点算子代数。对 Hermitian 型 Jordan 代数的情况，我们对相应的万有型顶点算子代数，给出了一个较为统一的构造。我们给出了这一类万有型顶点算子代数的不可约性判据，并利用自由场顶点算子（超）代数，以及偶对偶构造，实现了在可约情况下相应的不可约商顶点算子代数。进一步的，我们结合已有的关于李共形代数的结果，给出了利用一类线性李共形代数，实现和 Hermitian Jordan 代数相关联的万有型顶点算子代数的方法。同时，作为偶对偶构造及自由场实现的应用，我们还给出了亏格零关联函数的有效计算公式。最后作为研究的另一个侧面，我们研究了一个和 Feit-Thompson 猜想相关联的有限群问题。