经典的和非局部的离散可积与不可积非线性系统的动力学性质

Discrete integrable and nonintegrable systems are not only extremely hot and difficult issue in the integrable system and the soliton theory, but also have quite important applications in fields of physics. For example, discrete nonlinear Schrodinger equation can describe the evolution of the slowly varying envelope of the electric field in nonlinear optical waveguides. This project mainly studies the dynamical properties of several classical and nonlocal discrete integrable and nonintegrable nonlinear systems. In this project, (1) By utilizing a planar nonlinear dynamical map approach and numerical simulation, we will explore the dynamical properties for the classical and nonlocal nonintegrable discrete nonlinear Schrodinger-type equation, including spatially periodic orbit solutions, behavior of the orbit near the fixed point and the existence and stability of the solitary wave,etc. (2) By using the Darboux transformation and Hirota bilinear method, we construct the solution, seek to the gauge equivalent structure and discuss the continuous limit theory of the nonlocal discrete integrable nonlinear system. The research of this project will lead to new content, new results and theory development for the classical and nonlocal discrete integrable and nonintegrable nonlinear system.

离散可积与不可积系统的研究不仅是可积系统和孤立子理论中的热点和难点课题，而且离散系统在物理领域中有十分重要的应用，例如，离散非线性Schrodinger方程可描述非线性光波导管中的电场慢变包络的演化。本项目主要研究若干经典的离散可积与不可积以及非局部的离散可积与不可积非线性系统的动力学性质。主要内容包括：（1）用平面非线性离散动力映射和数值模拟方法探索经典的和非局部的不可积离散非线性Schrodinger型方程的动力学性质，包括空间周期轨道解，不动点附近轨道的性态和孤波的存在性，稳定性等；（2）用Darboux变换和Hirota双线性方法求解非局部离散可积非线性系统，寻找方程的规范等价结构和讨论这类方程的连续极限理论。本项目的研究将给经典和非局部的离散可积与不可积系统带来新的内容，新的研究结果和新的理论发展。

离散可积与不可积系统的研究不仅是可积系统和孤立子理论中的热点和难点课题，而且离散系统在物理领域中有十分重要的应用。本项目中我们用达布变换方法精确求解了一个非局部复的mKDV方程，得到了方程的暗孤子、周期解、W型解和M型解，证明其规范等价于一个类旋转链模型。这不同于经典的复的mKdV方程的规范等价结构；研究了一个非局部SS方程的可积性质，如无穷多守恒律，双哈密顿量，精确解和规范等价性等，结果表明此类非局部方程具有经典方程所未有的新性质。本项目研究了一个半离散mKdV方程可积性，这个方程保持对应连续方程的可积性质，如构造此方程的各种类型的精确解，我们首次得到这个半离散mKdV方程的周期解。此外通过数值模拟，我们发现二孤子解具有新的动力学性质-反暗孤子和W型孤波相互作用。本项目还研究了一个带有最近相邻相互作用项的不可积的半离散NLS方程，它可描述非线性光纤波管排列，利用离散傅里叶变换方法数值模拟它的稳态解和行波解，分析了稳态孤波解的线性稳定性，利用Runge–Kutta–Merson 方法数值模拟对比这个不可积半离散NLS与其它不可积NLS方程的混沌现象，结果揭示了相邻相互作用项对方程性质的影响。