带耗散结构的偏微分方程（组）解的稳定性分析

We consider the dissipative structure, especially the visco-elasticity dissipation to plate equation, Timoshenko system and also the general hyperbollic partial differential equations. The study focus on the existence, uniqueness and stability to solutions to the initial value problem. By comparing with the study on the frictionally dissipative structure, we investigate the similarities and differences between these two dissipation mechanisms. We mainly use the a priori energy estimate and Green function method. By virtue of Fourier transform and Laplace transform, it is possible to make energy estimates in the Fourier space and thus obtain the pointwise estimates and decay estimates of fundamental solutions. Consequently, the decay estimates of solutions would be hopefully attained.

本项目主要研究带粘弹耗散结构的板方程和Timoshenko方程组，以及带有粘弹项的一般的双曲型方程组的初值问题。除了研究解的存在唯一性和稳定性之外，还结合对带阻尼耗散结构的方程和方程组的研究，比较两种耗散机制的相似处和差异。主要采用先验的能量估计方法和Green函数方法。通过Fourier变换和Laplace 变换，在Fourier空间中作能量估计，得到解算子的逐点估计和衰减估计，由此得到解的衰减估计。

本项目主要研究带耗散结构的双曲型偏微分方程的初值问题解的稳定性，预期工作目标已基本完成。主要考虑的模型是带有粘弹耗散项的板方程和带有粘弹耗散项的Timoshenko方程组。我们先考虑解是否整体存在，是否会爆破，如果解整体存在，进一步考虑解的大时间状态的估计。通过运用关于时间加权的能量方法得到了带粘弹耗散项的非线性板方程和非线性Timoshenko方程组初值问题解的存在性、唯一性、稳定性以及解的衰减估计。