非自治系统的光滑遍历理论

The proposed program is aiming on the construction of smooth ergodic theory for non-autonomous systems (including quasi-periodic system, almost periodic systems and random systems). This program mainly contains the following three parts: 1. we plan to build several theoretic tools which can be applied on non-autonomous systems, including invariant manifolds theory, shadowing lemma, and so on; 2.we plan to study the existence and properties (including observability, uniqueness, finiteness, and so on) of SRB measures of certain type of non-autonomous systems; 3. we plan to build the analogue concepts of periodic orbit and Smale horseshoe for non-autonomous systems, and investigate the existence and properties of them.

该项目的主要目标是建立能够适用于非自治系统（包括拟周期系统，几乎周期系统以及随机系统）的光滑遍历理论。该项目大致包含以下三个部分：1.拟建立适用于非自治系统的基本理论工具，包括不变流形理论和伪轨跟踪定理等；2.拟对一类非自治系统的SRB测度的存在性及其基本性质（包括可观测性，唯一性，有限性等）进行系统的研究；3.拟对具有混沌现象的非自治系统建立周期轨道和Smale马蹄的概念，并对其存在性和基本性质进行探讨。

该课题的主要目标是建立适用于（有限维和无穷维）非自治系统（包括拟周期系统、几乎周期系统以及随机系统）的光滑遍历理论。实际中的很多现象的演化规律往往既具有时间上的回复性，同时也蕴含不确定性或随机性。因此，建立适用于拟周期系统、几乎周期系统以及随机系统的光滑遍历理论不仅具有很高的理论价值，同时也可能具有有广泛的实际意义。本项目资助期间的研究内容主要包括无穷维动力系统的混沌理论和SRB测度理论以及随机动力系统的混沌理论，取得的主要结果包括可分巴拿赫空间中SRB测度、周期轨道和Smale马蹄的存在性结果，随机动力系统的Krein-Rutman型定理以及其与乘积遍历定理的关联性结果，随机双曲系统随机周期结构和马蹄的存在性结果，以及对一类典型双曲系统的遍历优化问题的研究进展。该课题对动力系统和相关领域（如偏微分方程等领域）的研究和发展具有潜在的推动作用。