相交上同调的Hodge理论

Hodge Structure is crucial in the study of complex projective smooth varieties. Various cohomological vanishing theorems (Kodaira-Nakano vanishing, Kawamata-Viehweg vanishing, etc) follow from the theory of Hodge structure. Nowadays singular varieties attract more and more attentions. In particular, the decomposition theorem of the the pushforward of the intersection complex plays crucial role in Ngo's proof of the fundamental lemma (2010 Fields medal) and in the work of the Taylor expansion of the L-functions by W. Zhang and Y. Z. Wei (2018 New Horizons In Mathematics Prize). However, the knowledge of the Hodge structure on the intersection cohomology is limited. In this project we aim to study this Hodge structure by using L2 cohomologies. Moreover we shall study the L2 representation of the Hodge structures of Hodge modules.

Hodge结构在研究复射影代数流形中具有非常核心的地位。诸多上同调消灭定理（如Kodaira-Nakano消灭定理、Kawamata-Viehweg消灭定理等）均来自于Hodge理论。如今奇异代数簇的研究越来越受到关注。尤其关于相交复形下推出的分解定理在吴宝珠（Ngô Bảo Châu）对基本引理的证明（2010年菲尔兹奖工作），张伟、恽之玮在L函数的Taylor展开工作（2018年数学新视野奖工作）中都起到了核心作用。然而人们对相交上同调的Hodge结构的知识还十分有限。本项目旨在利用L2上同调方法研究奇异代数簇上相交上同调Hodge结构，并进一步思考更大框架Hodge module下的L2上同调表示问题。

Hodge理论是代数几何及其相关领域（表示论、数论等）的核心课题之一。近年来Hodge理论（包括变系数Hodge理论--Hodge模理论）在诸多数学分支（代数几何、表示论、数论）中均有重要作用。另一方面L2分析方法近年来帮助几何学家在复代数几何的诸多重要课题（plurigenera的形变不变性、Itaka猜想、abundance猜想、代数簇模空间等）上取得突破性成果。如何联系Hodge理论与L2理论一直以来是复代数几何的重要问题之一。其核心为Cheeger-Goresky-MacPherson于1982年提出的猜想与其变系数版本。本课题主要成果为完全证明了Cheeger-Goresky-MacPherson猜想及其变系数(Hodge模系数)版本的完备度量情形，从而建立了Hodge理论与L2理论的桥梁。作为"Hodge-L2"对应思想的应用，本课题负责人与合作者给出了Kollar猜想、MacPherson猜想的新证明及推广，并在Kawamata的一个猜想上取得突破。