理论物理中的对称性研究

在理论物理学中，研究对称性非常重要，探索未知的物理规律可以以其对称性作为引导。 为了研究更广义的对称性，范畴理论被引入到理论物理中，称为范畴对称。范畴对称所对应的数学对象主要包括：Hopf代数、量子代数、modular 张量范畴、范畴群、群胚、李代数胚和相应的高阶范畴对象等，这些能反映物理世界更普遍的规律。L.Crane 和I.B.Frenkel使用Hopf范畴来构造4维拓扑量子场论，后来J. Lurie使用了2-范畴的理论方法定义并研究了扩充的拓扑量子场论。本项目主要利用范畴化的工具，研究高维拓扑量子场论的构造，进一步，研究这些高维拓扑量子场论的(超)对称以及几何拓扑性质。

本项目主要研究理论物理学中的对称性，因为探索未知的物理规律是以其对称性作为引导。我们研究更广义的对称性，称为范畴对称，这些能反映物理世界更普遍的规律。范畴对称所对应的数学对象主要包括：李代数，Hopf 代数、量子代数、顶点算子代数、量子环面、张量范畴和相应的高阶范畴对象等。我们研究了Hom 型李代数的同调和上同调，特别研究了它的中心扩张和第二上同调群。作为具体的例子，我们给出了Hom 型 Virasoro 代数和 Heisenberg -Virasoro 代数的低阶上同调群，给出它们的外导子和内导子的具体形式。我们研究了超 Virasoro 代数以及 W-代数的表示理论，具体地，我们给出了一种与 Virasoro 代数密切相关的W-代数的最高权表示，确定了它的不可约性；给出了超 Virasoro 代数权空间为一的中间序列模的分类。我们研究了Heisenberg -Virasoro 代数的量子形变，构造了 Hom 型Heisenberg -Virasoro 代数q-微分算子实现，在它的包络代数上证明了类似PBW基定理，进一步构造了余乘运算和对径点，证明它们构成了非交换且余交换的Hopf 代数。我们构造了Hom 型 Virasoro 超代数的双代数结构以及W-型李代数的量子结构。我们构造了李代数 D_8 到李代数E_8 嵌入关系的顶点算子代数类似；研究了顶点算子代数的模范畴的Grothendick群，这也为研究顶点算子代数和共形场论提供了一个重要的工具。 我们研究了Hom-型余代数的范畴化，给出（对偶的）Hom-型拟Hopf代数的范畴实现和（对偶的）Hom-型（余）代数的（余）表示。我们研究了量子环面作为结合代数的单模的分类；研究了Schodinger代数的单的非权模的分类，包括两种情况：一类是Schodinger代数的正部分作用局部有限的单模的分类，另一类是拟有限的Whittaker单模的分类，这些对于我们研究Galilei对称有着非常重要的意义。. 我们完成了本项目的初定研究计划，达到了项目的预期研究结果。