李环面和Krichever-Novikov代数的表示理论

李环面是Yoshii在研究高维仿射李代数的分类和实现时引进的一类双阶化李代数，Krichever-Novikov代数则是Krichever和Novikov在研究多极点黎曼面上的弦论和孤立子理论时引进的一种拟阶化李代数，它们是经典阶化李代数的一种形变代数。本项目将研究这两类代数的酉表示、Weyl表示、虚Verma表示、Wakimoto表示及Whittaker表示的构造及分类，研究这些代数的表示范畴的基本同调性质，确定其表示的特征标，并探索这些表示与相应的量子仿射李代数的表示间的内在联系。还将研究这些代数的顶点算子表示和boson场、fermion场及自由场实现，并将所获得的结论用于可积系统构造、孤立子方程求解，进一步探索其在顶点算子代数、共形场等方面的应用。

非阶化李代数是李理论的研究难点之一，Krichever-Novikov代数是通过对经典阶化李代数进行形变而得到的一种重要的非阶化李代数。李环面在高维仿射李代数的分类和实现中具有重要作用。我们主要研究了Witt代数、左对称代数、Post-Lie代数及量子环面和Rota-Baxter算子等的结构和表示，它们与李环面、Krichever-Novikov代数和高维仿射李代数都存在紧密联系。Post-Lie代数是由B.Vallette在研究operad代数等时给出的一类重要的代数结构，它与pre-Lie代数、dendriform代数及李环面等都有密切联系。Rota-Baxter算子在数学和数学物理中起着重要作用。. 我们给出了Witt代数上非阶化左对称代数与W型李代数及Novikov代数间的关系，还研究了loop-Witt代数的结构。确定了复数域上4维单结合代数上的全体Rota-Baxter算子，进而给出一些Yang-Baxter方程的解。研究了可解李代数t(2,C)上的Post-Lie代数结构，并给出其同构的充要条件。给出了李代数gl(2,C)上的Post-Lie代数的完整分类，并研究了gl(2,C)上的Hom-Lie结构。构造了量子环面C_{-1}上的一个Noether模，并给出它与A型李代数的表示之间的关系。利用形变技术构造了一些李代数并研究了其结构。最后还研究了矩阵空间的不变量保持问题，并获得许多有意义的结果。这些成果刻画了相关代数间的关系，并为我们进一步构造新的表示和场论实现提供了线索。