不使用罚函数或滤技术的内点方法的理论与应用研究

内点方法在最优化方法中具有十分重要的地位。它不仅在求解大规模线性规划和凸规划的算法与理论方面取得了巨大的成功，也在求解大规模非线性规划的算法与理论方面取得了很大的进展。本项目旨在已有研究工作的基础上，结合最新的求解非线性规划问题的技术和成果，发展一类不使用罚函数或滤技术的非线性规划内点方法，建立其相关的收敛性理论，并应用于求解偏微分方程约束最优化和其它一些来源于实际中的问题。和已有方法比较，它有下面两个显著特点：一是它不使用任何罚函数，因此算法不会因为初始罚参数选取不适当而导致失败；二是它不使用滤技术，不需要存储更多迭代点处的函数值信息。它的全局和局部收敛性理论不要求约束规范条件成立，并保持强全局收敛性质和局部超线性收敛性质，从而使得这类方法适合于求解更多的非线性规划问题。希望通过本项目的研究，有助于进一步丰富最优化算法的理论和改善最优化技术解决现实问题的能力。

本项目重点研究了不使用罚函数或滤技术的非线性规划算法及其全局和局部收敛性理论。首先提出了求解非线性等式约束最优化的不使用罚函数或滤技术的逐步二次规划方法。在没有迭代序列有界性假设（非线性规划的一个普遍性假设）和不使用恢复性阶段（所有滤方法的必要阶段）的情况下，证明了该方法具有强适性的全局收敛性质。在局部收敛性方面，在没有要求线性无关约束规范条件下，证明了通过适当控制线性化约束的精度和引进二阶校正技术，该方法可具有超线性收敛。结合内点途径，我们也发展了一个求解一般非线性约束最优化的不使用罚函数或滤技术的原始对偶内点方法。对经典测试问题集中的109个中小规模测试问题的数值测试结果表明，我们的算法在求解约80%的问题时比经典的LANCELOT算法需要更少的函数和梯度值计算次数。. 在理论和算法应用方面，我们研究了超定约束最优化、互补约束最优化和随机规划等一些特殊约束最优化问题. 这些问题都有相应的实际应用背景，且它们具有的一个共同特点是在最优解处线性无关约束规范条件不成立。我们分别给出了这些问题的算法并证明了算法的全局收敛性，也进行了一些数值测试和分析。