脉冲作用下非线性系统的非光滑分岔分析

Impulsive systems which belong to non-smooth systems are widely found in biological, economic, mechanical and other fields. The dynamical behavior and its bifurcation mechanisms of nonlinear systems with impulsive force are current international topics in the field of dynamics and control. This project will explore the complex dynamical behavior of nonlinear systems with impulsive force as some parameters change by modern analysis methods, such as equilibrium solutions, periodic solutions, quasi-periodic solutions, chaos, coexisting attractors, etc. Then through the methods of non-smooth systems, such as local mapping method, extended continuation method, Floquet theory, this project will invesigate the bifurcation mechanisms of the complex dynamical behavior, such as conventional and unconventional bifurcation of periodic solutions and present bifurcation sets. On this basis, this project will analyze the impact on the dynamical behavior of the systems. Then, this project will study the complex dynamical behavior of impulsive coupled nonlinear systems and analyze the phenomenon of high codimension bifurcaton. This project will consider the bifurcation mode of high-dimensional nonlinear impulsive systems, especially the high codimension bifurcation. This project will discover new phenomena and chaotic roads, and explore the relationship between the dynamics of impulsive couplled nonlinear systems, network structure and synchronization. The research of this project will enrich bifurcation theory of nonlinear impulsive systems, improve numerical methods of nonlinear impulsive systems and promote practical application of nonlinear impulsive systems.

脉冲系统广泛存在于生物、经济、机械等众多领域，它的动力学行为及其分岔机理是当前国际动力学与控制领域前沿课题之一。本项目拟通过各种现代分析方法研究脉冲作用下非线性系统参数变化时所呈现的复杂动力学行为，如平衡解、周期解、拟周期解、混沌、吸引子共存等。通过非光滑系统的局部映射法、扩展延拓法、Floquet理论等研究这些复杂动力学行为的分岔机理，如周期解的常规分岔与非常规分岔，并给出系统的分岔集。在此基础上分析脉冲作用对系统动力学行为的影响。其次本项目拟研究脉冲耦合非线性系统的复杂动力学行为，分析其高余维分岔现象，探索高维非线性脉冲系统的分岔模式，特别是高余维分岔机制，发现新的动力学现象及混沌道路，探讨脉冲耦合非线性系统的动力学特性与网络结构、同步之间的关系。本项目的研究将丰富非线性脉冲系统的分岔理论,改进非线性脉冲系统的数值仿真方法，促进非线性脉冲系统在实际中的应用。

脉冲作用下非线性系统具有广泛的工程应用背景，它的动力学行为及其分岔机理是当前国际动力学与控制领域前沿课题之一。本课题按计划完成了各项研究任务，达到了预期目标。主要结果如下：（1）以单/双周期脉冲作用下Logistic映射为研究对象，将Floquet理论推广的离散映射情形，并用于揭示该系统周期解的分岔机理；（2）研究了一类状态脉冲耦合振子的同步及其动力学问题，该系统可产生复杂的动力学行为，如对称或非对称的周期解、概周期解和混沌等，通过单、双参数分岔分析说明对称性破缺分岔在系统从同步到异步的转迁中起到了重要的作用；（3）研究了环形脉冲耦合Duffing振子的复杂动力学行为，结合打靶法、龙格-库塔方法及扩展延拓法求出系统的两参数Hopf分岔集，利用Floquet理论研究了该系统周期解的稳定性及其分岔；（4）将含硬碰撞的周期激励振子的不连续几何概念推广到含软碰撞的情形，并用于揭示含单边弹性约束振子的擦边分岔机理。根据国内外最新进展，本项目还研究了网络化系统的脉冲一致性（同步）及簇反一致性等问题以及网络结构与同步之间的关系，为后续研究工作打下理论基础。这方面工作主要有：（1）基于图谱理论研究了一类网络化无源多智能体系统的脉冲输出一致性，基于无源性原理分别给出该系统在网络拓扑固定、切换两种情形下达到输出一致的充分条件；（2） 基于拟拉普拉斯谱理论研究了无向/有向网络上多智能体系统的簇反一致性问题。在国家自然科学基金项目的资助下，3年中先后在国内外重要学术刊物上发表或录用学术论文11篇，其中已被SCI收录7篇、EI收录1篇。本项目的研究能丰富非线性脉冲系统的分岔理论、促进非线性脉冲系统在实际中的应用。