基于变分方法的几类椭圆方程组的多解问题的研究

In the project, mainly by means of variational methods, we research the multiplicity of solutions，concentration, asymptotic behavior of ground states，and bubbling solutions for some kinds of elliptic equations, including the weakly coupled Schrödinger system, fractional Schrödinger equation and Kirchhoff problem, and also the existence of quasi-periodic solutions of shallow water wave equation. These problems are closely related with physics and astronomy, so they are one of research hotspots in the field. But these problems are very difficult because of the critical exponent growth of nonlinear terms, the nonlocal property of fractional Schrödinger equation and Kirchhoff problem, the lack of the compactness condition, so the usual Nehari manifold method , perturbation methodwe and the index theory can not be used directly. Meanwhile we are focus on the study on proterties of solutions, such as semi-sign-changing solutions, or double-sign-changing solutions for the weakly coupled Schrödinger system, L^2 normalized solutions for fractional Schrödinger equation and Kirchhoff problem, and so on. By means of KAM theory for infinite dimentions, we also study the existence of quasi-periodic solutions of Boussinesq equation and RBQ equation. The difficulties lie in the lack of growth for the spectrum of the linear part of the equations.

本项目主要应用变分方法研究几类椭圆型方程与方程组，包括弱耦合Schrödinger方程组，分数阶Schrödinger方程和Kirchhoff问题等的多解性、基态解的 集中性质，渐近性质和爆破性质，以及浅水波方程拟周期解的存在性。 这些问题与物理学，天文学等学科有着密切联系，是目前该领域的研究热点之一。但由于我们研究的问题涉及到非线性项的临界指数增长，或椭圆算子的非局部性，或是在全空间上来研究，将导致紧性条件缺失，传统的Nehari流形方法、约化方法和指标理论等不能直接使用，需要理论和方法上的突破。同时，我们将更多地关注解的性质的研究，如方程组解的半变号性与全变号性，分数阶方程和Kirchhoff系统的 L^2-规范性等。 我们还将应用无穷维KAM理论研究具狄氏边值和周期边值条件的Boussinesq 方程、RBQ方程等拟周期解问题，关键在于克服由于方程线性部分的谱没有增长性带来的困难。

本项目主要应用变分方法与临界点理论研究了几类椭圆型方程与方程组，包括Kirchhoff问题、耦合Schrodinger方程组，分数阶Schrodinger方程、Schrodinger-Poisson系统和Choquard 方程等的多解性、基态解的存在性、半经典问题解的集中性质，渐近性质和爆破性质，以及无穷维偏微分方程。 这些问题与物理学，天文学，如量子力学、经典力学、光学等学科有着密切联系，是目前非线性泛函分析与偏微分方程研究领域的热点之一。但由于我们研究的问题涉及到非线性项的临界指数增长，或椭圆算子的非局部性，或是在全空间上来研究，导致紧性条件缺失，传统的Nehari流形方法、约化方法和指标理论、紧性定理等不能直接使用，同时，我们也更多地关注了解的性质，如各类集中现象、 L-2 规范性等。这都给研究工作带来了新的挑战。我们在一系列较为困难的问题方面取得了新进展，包括非局部问题、（多）临界指数问题、临界位势问题、陷阱势、解的集中性、多解性、规范解问题等。我们发展了依赖参数的紧性定理、建立了新的更加细致的估计，引入新的截断技术等。因此所得结果是对已有结果的改进和推广，并且在方法上有创新，得到了同行的好评，被邀请参加多场学术会议并做报告，产生了积极的影响。在人才培养方面也卓有成效。2017-2020年期间，本项目组发表的SCI论文中标注本基金项目号11671077 的共有30篇， 2019年获得教育部自然科学二等奖一项。