整体微分几何

In this project we will study some global problems in symplectic geometry, affine differential geometry and homogeneous spaces. We will construct an algebraic type related symplectic structure and the Hamilton action by torus group, and derive characteristic of symplectic manifold. We will use the affine technique to study affine hypersurfaces and projective Blaschke manifolds. We will use the painted Dynkin graph and the technique of Riemannian geometry to find the examples of naturally reductive flag manifolds and geodesic orbits flag manifolds and to classify them. We hope to obtain outstanding results and publish them on famous mathematical journals.

本项目计划研究辛几何、仿射微分几何和齐性空间中的一些整体问题。以等变的有理同伦论为工具，构造同辛结构和带tours群以Hamilton作用相关的代数模型，导出辛流形的性质；用仿射技巧和辛几何中的bubbling分析技巧研究仿射超曲面和射影Blaschke流形的性质和分类问题；借助于flag流形的painted Dynkin graph，用李代数和黎曼几何的技巧构造自然约化flag流形和测地轨道flag流形，进而进行分类。希望取得高水平的研究成果，在国际重要数学刊物上发表。

本项目按计划研究了辛流形、复流形和齐性流形的整体几何性质，取得了丰硕的研究成果，在国内外数学期刊上发表了研究论文11篇，其中10篇发表在SCI刊物上，1篇发表在国内核心期刊上。在辛几何方面我们构造了局部共形的辛流形；利用辛流形上的相对Gromov-Witen不变量理论，导出了计算广义Hurwitz计数的生成函数的微分方程；研究了横截辛叶状空间上 Hamiltonian 群作用的性质等。在复几何方面，我们研究了齐性环型丛上的广义Abreu方程，导出了齐性环型丛上的一个微分不等式；研究了紧致复流形上的twisted de Rham 上同调，导出了一个在blow-up变换下的变换公式；研究了紧致复流形上的blow-up手术变换，导出了Dolbeault上同调的一个blow-up公式。在齐性流形方面，我们借助于flag流形的painted Dynkin graph和黎曼几何的技巧，对自然约化旗流形和轨道旗流形以及它们上面的不变爱因斯坦度量进行了分类。