拟共形映射理论中的若干问题

The research project deals with several important topics concerning quasiconformal mapping theory. By means of the Muckenhoupt weight condition and Carleson measure condition from real and harmonic analysis theory, we shall study some typical quasiconformal extensions (including Beurling-Ahlfors extension, Douady-Earle extension) of a quasisymmetric homeomorphism corresponding to a chord-arc curve , discuss the connectedness and complex analytic theory of the space of all chord-arc curves, and apply them to the study of some related topics such as the boundedness of the Cauchy integral operator. By studying the QED domains in the plane, we hope to find various approaches to compute the maximal dilatations of extremal quasiconformal mappings and consequently to compute the Teichmuller distances, meanwhile, we hope to generalize the relatively rich theory of plane QED domains to the case of a general metric space. Through this project, we hope to obtain some important and original results in these areas.

本项目将研究拟共形映射理论中的若干基本问题。我们将利用实分析、调和分析的理论和方法，特别以Muckenhoupt加权条件和Carleson测度条件作为工具， 研究弦弧曲线所对应的拟对称粘合映射的光滑性及其典型拟共形延拓（包括Beurling-Ahlfors延拓、Douady-Earle延拓）的性质， 进而讨论弦弧曲线空间的连通性及其复解析理论， 并应用于Cauchy积分等相关课题的研究中。我们还将通过对平面QED问题的讨论，进一步了解极值拟共形映射的最大伸缩商、QED常数以及边界QED常数之间的关系， 从而提供计算极值拟共形映射的最大伸缩商进而计算Teichmuller距离的多种途径， 并希望能够将相对成熟的QED问题的平面理论推广到一般度量空间上。我们拟通过本项目的研究，得到一些具有原创性的研究成果和研究方法，推动国内在拟共形映射研究方面的发展。

利用BMO理论讨论了弦弧曲线空间以及与其密切相关的BMOA-Teichmuller 空间和VMOA-Teichmuller空间的几何拓扑结构，证明了BMOA-Teichmuller 空间和VMOA-Teichmuller空间的可缩性。利用弦弧曲线空间，引入了增广BMOA-Teichmuller 空间的概念，并利用BMO拓扑给出了它的一个复流形结构。利用分式Sobolev空间理论给出了Weil-Petersson Teichmuller空间所对应的拟对称同胚的一个内蕴刻画, 并解决了Takhtajan和Teo提出的一个公开问题。讨论了在整个万有Teichmuller空间上拟对称流的连续性。在此基础上，证明了光滑Zygmund向量场对应的拟对称流属于小Teichmuller空间， 而指数为3/2的Sobolev空间的向量场的流属于Weil-Petersson Teichmuller空间。结合极值拟共形映射的最大伸缩商、 QED常数以及边界QED常数之间的关系进一步研究了QED问题，并利用近年来Heinonen与Koskela等人关于Loewner空间上的拟共形映射理论，讨论了Loewner空间上相应的QED问题。考虑了实轴到自身的拟对称同胚的伸缩商与其拟共形延拓的最大伸缩商之间的关系，给出了这两个量相等的充分必要条件。还考虑了单位圆上的缝合同胚是Bi-Lipschitz，Bi-Holder，拟对称这三个条件的等价几何性质。