泛函不等式与一类马氏过程的Cutoff现象

This project is devoted to functional inequalities and cutoff phenomenon for some Markov processes. For functional inequalities: intend to provide a comparison of logarithmic Sobolev constants respectively for diffusions on manifolds and for corresponding one-dimensional diffusion; investigate whether L1 transportation working together with Poincare inequality imply L2 transportion; L2 transportation information is stricting stronger than L2 transportation?; functional inequalities for some stochastic (partial) differential equations and some .particular proabilities arising from practical model; transportation information inequalities for non symmetric Markov processes. We plan to work on cutoff phenomenon for Markov processes such as explicit criteria on total variation cutoff for birth and death chains and cutoff phenomenon for general multi-dimensional Markov processes, e.g., diffusions and Levy processes. The research on cutoff phenomenon involves: the hitting time of Markov processes, especilly the distribution of the strong stationary time and the optimal coupling time; Mobius stochastic monotonicity of Markov processes.

该项目主要研究概率论中的泛函不等式和一类马氏过程的Cutoff现象。泛函不等式包括流形上扩散过程的对数Sobolev不等式与某一维扩散对数Sobolev不等式的比较、L2传输不等式与L1+Poincare不等式之间的等价关系探讨、L2传输不等式与L2传输信息不等式的严格强弱关系、非对称马氏过程的传输信息不等式、一些具体随机（偏）微分方程的泛函不等式、一类有实际意义测度的泛函不等式等。我们也将研究一类马氏过程的cutoff现象，包括生灭过程全变差下cutoff的显示表达和高维空间中一般马氏过程的scutoff问题（扩散过程、Levy过程等）。此cutoff现象的研究涉及到马氏过程击中时问题，特别是强平稳时和最优耦合时间等精确分布问题和过程的Mobius单调性研究。

考虑n*n的随机正交矩阵的左上p*q子矩阵，在全变差、Kullback和Helliger等距离下可以看成pq个独立同分布的标准正态的充要条件。.关于n维欧式空间中球面旋转不变测度的庞加莱不等式，得到了n/n-1倍的上下界估计。以及一维相应情形的精确估计。.关于球面上的测度的泛函不等式：球面上Moebius测度的庞加莱与对数Sobolev不等式；球面上调和测度的Sobolev不等式；球面上推广调和测度的庞加莱不等式以及圈上Moebius测度的庞加莱不等式。另外还研究了球面上Boltzmann测度的庞加莱不等式..对半直线上生灭过程，我们总结了4 种无穷边界的生灭过程的平稳性和拟平稳分布的存在唯一性..给出了$Z^d$上具有Mobius单调性的Markov链强平稳性的判别准则。.在有关非可逆Markov过程的研究上取得显著的进展: 将Dirichlet原理推广到非可逆的马氏过程，得到了常返性刻画；对连续时间单死过程，得到了平稳分布的一个新表示以及击中时一阶矩的显式表示和一些数字特征的概率意义，从而给出单死过程遍历性和强遍历性的判别准则，常返性和指数遍历性的充分条件或必要条件, 以及灭绝概率的表示等。将上述研究方法应用于树上生灭过程，得到击中时高阶矩的递归显式表示，进而得到遍历性和强遍历性以及代数式遍历性的显式判别准则，指数遍历的必要条件等等。.将在时齐Markov过程中具有广泛重要性的泛函不等式应用于对非时齐Markov过程，利用非时齐的Poincare不等式和非时齐的对数Sobolev不等式给出了依全变差范数下的遍历性及其收敛速度估计。.对于一类重要的无穷维Jackson网络，证明其随机可比性，由此给出了队长的极限行为，证明了非遍历的Jackson网络中存在最大的遍历的子网络。