非局部随机系统的平均化原理

Multiscale models are attracting great attention in many disciplines such as mathematics, physics, biology and engineering. One of the central problems in multiscale models is to reduce the model, the commonly used reduction methods are averaging principle, slow manifolds and other methods. We have now established an averaging results for class of non-Lipstitz multi-valued stochastic differential equations. On this basis, we consider the averaging problem of nonlocal stochastic systems. It can be seen that large-scale effects、random effects、non-local operators are the main difficulties in solving this problem. In the framework of stochastic dynamical systems and stochastic partial differential equations, we will study the following questions: the necessary conditions so as that there exist a reduction equation which approximates the dominant component of the nonlocal stochastic system with two time scales, the numerical scheme for the reduction equation, the explicit order of convergence with respect to the parameter of time scale in strong sense approximation of trajectories) and in weak sense (approximation of laws) for the approximation of dominant component towards the solution of this reduction equation. The theoretical significance of our research will make progress in understanding the evolutionary behavior for nonlocal stochastic systems with multiple scales. It also provides a rigorous theoretical basis for modeling, simulation, parameter estimation, optimal control for nonlocal complex systems with multiple scales.

多尺度模型正引起数学、物理、生物和工程等诸多学科的极大关注。解决多尺度模型的核心问题之一就是对模型进行约化，常用的约化方法有平均化、慢流形等方法。目前我们已建立了一类非李普希兹条件下多值随机微分方程的平均化结果，在此基础上我们考虑非局部随机系统的平均化问题。可以看到，大尺度效应、随机影响、非局部算子是解决该问题的几个主要难点。在随机动力系统和随机偏微分方程理论的框架下，我们将研究如下问题：约化方程存在性以及约化方程逼近原系统所需的必要条件、约化方程的数值算法、主要分量与约化方程的解过程在强收敛(轨道的逼近)及弱收敛(分布的逼近)意义下关于时间尺度参数的收敛速度。这些结果能够加深对非局部多尺度随机系统演化行为的认识， 为非局部多尺度复杂随机系统建模、 仿真、 参数估计、最优控制等问题提供严格的数学基础。

时间非局部随机微分方程以及经典意义下的随机微分方程是用来精确描述具有时间演化特性并且受到内部、外部或环境噪声影响的重要模型。因此，非局部随机微分方程以及经典意义下的随机微分方程的研究不仅具有重要的理论价值，同时也具有广泛的应用背景。本项目主要研究非局部随机微分方程以及经典意义下的随机微分方程的约化及其逼近问题。主要的研究内容和结果如下：.1、在不同框架下考虑了时间非局部随机微分方程全局解的存在唯一性，其处理方式有别于现有文献的处理方式，并得到了方程解关于非局部指标的连续性结果。.2、基于1中的结果，考虑时间非局部随机微分方程精确解的难以给出的特点，我们讨论了时间非局部随机微分方程的逼近解以及逼近结果，考虑了时间非局部随机微分方程的Caratheodory情形的逼近，并与经典情形比较可知，我们文章中得到的结果是经典情形的推广。.3、时间非局部随机微分方程以及经典意义下随机微分方程的平均化原理受到越来越多的学者关注。目前，在经典条件下的平均化结果非常丰富，经过对相关论文的研读，我们发现当前所考虑的经典平均化条件是可以减弱的，减弱的情形能包含更多的模型。基于此论点，我们在弱的平均化条件下得到了一类随机微分方程的平均化结果，我们的结果在一定意义上丰富发展了随机平均化理论。.本课题的所得研究成果丰富和发展了时间非局部随机微分方程以及经典意义下的随机微分方程相关理论。相关结果能够加深对时间非局部随机微分方程以及经典意义下的随机微分方程系统演化行为的认识， 为复杂系统的建模、 仿真、 参数估计、最优控制等问题提供严格的数学基础。