非线性分析中的两类时滞系统的变分方法研究

本项目拟采用变分方法研究非自治一阶和二阶时滞系统周期解，次调和解和同宿轨的存在性和多重性问题。这两类系统起源于一个非线性人口增长模型和生物动力学的研究，在概率方法对渐近素数稠密理论的应用研究中亦有其应用，它还可描述具有潜在爆炸化学反应的控制系统运行。本项目首先将建立所研究系统的变分框架；其次将研究适合于该系统相应能量泛函（一般来说， 是强不定的）的临界点理论；最后将应用已有的临界点定理和新建立的临界点理论去获得该系统周期解，次调和解和同宿轨的存在性和多重性结果。从现有文献来看，该系统的研究具有很好的实际背景，且无论是问题本身还是其研究方法都具有较强的创新性。

本项目主要应用变分方法和强不定泛函的临界点理论研究一类一阶时滞微分方程系统和一类二阶时滞微分方程系统周期解和反周期解的存在性和多解性问题以及一些相关问题。到目前为止，已完成预期研究目标，并作了一些扩展性的研究工作。具体来说，我们得到以下几方面的研究成果：. （1） 建立了上述两类系统的变分框架； （2） 分别应用弱环绕和局部环绕理论研究了非自治一阶时滞系统非常值周期解的存在性问题；. （3） 应用新近发展起来的强不定泛函的临界点理论研究了非自治一阶和二阶时滞系统周期解以及混合反周期-周期解的多重性问题；. （4） 应用广义山路定理和对称山路定理研究了带阻尼项的二阶系统同宿解的存在性和多重性问题以及Schrodinger-Kirchhoff 型方程. 和双调和方程非平凡解，非平凡径向解和高能解序列的存在性问题；. （5） 应用 Nehari 流形方法研究了一类 p-Laplacian 椭圆系统非平凡解的存在性问题；. （6） 研究了积空间上的临界点理论，并将其应用于研究了Kirchhoff-型方程系统非平凡解和高能解序列的存在性问题。