基于随机位迭代更新的数字域混沌建模新方法及其应用研究

The mathematical definitions of chaos are based on infinite precision. However, digital chaos instead of chaos with strict mathematical definition is achieved in computer and other digital devices due to finite precision effect. Some researchers have conducted in-depth research on the degeneration of dynamics characteristics in digital chaotic systems, including improving the accuracy of computation, adding external perturbation, cascading or switching two and more chaotic maps, mixing analog and digital systems, etc. These methods can improve the dynamic degradation, but more importantly, it is necessary to explore the digital domain chaotic system modeling problem to meet the mathematical definitions of chaos. This project will proposes a new method of modeling the digital chaotic system updated by random iterations. Through the iterative update mechanism controlled by random sequences, the general principles of the design of digital chaotic system updated by random iterations will be given, which will meet Devaney's definition of chaos. At the same time, the rigorous mathematical proofs will also be given. Then, its statistical properties will be checked by TESTU01 which is the most rigorous test in the world at present. Research on a new method for modeling the digital chaotic system updated by random iterations and its application have important research significance and application value for perfecting and developing chaos theory.

混沌的数学定义都是针对无限精度而言的，但计算机和数字器件均为有限精度，因而无法生成具有严格数学定义的混沌，只能在有限精度条件下实现数字域混沌。数字域混沌的动力学退化是近年来人们关注的热点课题，进行过深入研究，其中包括提高运算精度、外部扰动、多个数字混沌级联或切换控制、模数混合等，这些方法虽然能改善数字域混沌的动力学退化，但更为重要的是，需要进一步探索满足混沌定义的数字域混沌建模，才能从根本上解决问题。本项目提出随机位迭代更新的数字域混沌建模新方法，通过外部随机序列控制的单个随机位或多个随机位控制的迭代更新机制，建立随机位迭代更新的数字域混沌系统的一般设计准则，构造满足Devaney定义的数字域混沌系统，给出严格的数学证明，并且其统计特性能通过目前国际上最为严格的TESTU01测试。基于随机位迭代更新的数字域混沌建模新方法及其应用研究对于完善和发展混沌理论具有重要的研究意义和应用价值。

近年来，在有限状态机上产生真实可证明的混沌已经在理论和实践上取得了许多进展，本项目是该进展中的一部分，旨在完善和拓展高维数字混沌系统(HDDCS)的理论框架以及提供更多的应用实例。在本项目的研究中，首先在理论方面为HDDCS提供了Devaney混沌证明并进一步证明拓扑混合性。拓扑混合意味着在紧致空间上的Devaney混沌，但反之则不一定成立。因此，拓扑混合性证明完善和拓展了HDDCS的理论框架。然后，给出了基于回路-状态收缩算法构建HDDCS的一般设计方法，其中的未受随机序列控制的迭代函数(以下简称为迭代函数)的构建是本研究的切入点，在此基础上提出了一种通用的设计方法来解决HDDCS的构建问题，并通过若干实例来说明了该方法的有效性和可行性。在应用方面，利用本文设计的HDDCS对应的邻接矩阵构造混沌回声状态网络(ESN)对Mackey-Glass时间序列进行预测，预测精度随着网络规模和HDDCS维数的增加而提高，表明高维HDDCS比低维HDDCS具有更好的预测性能。